不等式 $4 \log_4 x \le \log_2 (4-x) + 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $4 \log_4 x \le \log_2 (4-x) + 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の定義から、真数条件を考慮する必要があります。

$x > 0$ かつ $4 - x > 0$ なので、$0 < x < 4$ が必要です。

次に、不等式を整理します。

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$ より、

$4 \log_4 x = 4 \cdot \frac{\log_2 x}{2} = 2 \log_2 x = \log_2 x^2$

与えられた不等式は

$\log_2 x^2 \le \log_2 (4-x) + 1$

$\log_2 x^2 \le \log_2 (4-x) + \log_2 2$

$\log_2 x^2 \le \log_2 \{2(4-x)\}$

$\log_2 x^2 \le \log_2 (8-2x)$

対数の底が2で、1より大きいので、真数を比較して

$x^2 \le 8 - 2x$

$x^2 + 2x - 8 \le 0$

$(x+4)(x-2) \le 0$

$-4 \le x \le 2$

真数条件 $0 < x < 4$ と合わせて考えると、$0 < x \le 2$

3. 最終的な答え

$0 < x \le 2$