与えられた5つの式について、それぞれの値を求める問題です。 (1) $2^5 \times 2^{-8}$ (2) $27^{\frac{2}{3}}$ (3) $(\frac{1}{32})^{\frac{2}{5}}$ (4) $\frac{\sqrt{3} \times \sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3}}$ (5) $(\frac{\sqrt{2^3}}{\sqrt[3]{2^5}})^6$

1. 問題の内容

与えられた5つの式について、それぞれの値を求める問題です。

(1) $2^5 \times 2^{-8}$

(2) $27^{\frac{2}{3}}$

(3) $(\frac{1}{32})^{\frac{2}{5}}$

(4) $\frac{\sqrt{3} \times \sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3}}$

(5) $(\frac{\sqrt{2^3}}{\sqrt[3]{2^5}})^6$

2. 解き方の手順

(1) 指数法則を用いて計算します。$a^m \times a^n = a^{m+n}$ を使用します。

$2^5 \times 2^{-8} = 2^{5+(-8)} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

(2) $27 = 3^3$ であることを利用します。

$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

(3) $32 = 2^5$ であることを利用します。

$(\frac{1}{32})^{\frac{2}{5}} = (\frac{1}{2^5})^{\frac{2}{5}} = (2^{-5})^{\frac{2}{5}} = 2^{-5 \times \frac{2}{5}} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

(4) まず、$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[4]{27} = (3^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}$, $\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$ と書き換えます。

$\frac{\sqrt{3} \times \sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3}} = \frac{3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}} = \frac{3^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = 3^{\frac{2}{4} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = 3^{\frac{4}{4}} = 3^1 = 3$

(5) まず、$\sqrt{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$, $\sqrt[3]{2^5} = (2^5)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3}}$ と書き換えます。

$(\frac{\sqrt{2^3}}{\sqrt[3]{2^5}})^6 = (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{5}{3}}})^6 = (2^{\frac{3}{2} - \frac{5}{3}})^6 = (2^{\frac{9}{6} - \frac{10}{6}})^6 = (2^{-\frac{1}{6}})^6 = 2^{-\frac{1}{6} \times 6} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8}$

(2) $9$

(3) $\frac{1}{4}$

(4) $3$

(5) $\frac{1}{2}$