問題1：$V = \mathbb{R}^3$ の部分集合 $L = \{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}$ が $V = \mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを調べる。 問題2： (1) $L = \langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \rangle$ の基底を計算する。 (2) $L = \{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \}$ の基底を計算する。

1. 問題の内容

問題1：$V = \mathbb{R}^3$ の部分集合 $L = \{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}$ が $V = \mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを調べる。

問題2：

(1) $L = \langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \rangle$ の基底を計算する。

(2) $L = \{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \}$ の基底を計算する。

2. 解き方の手順

問題1：

$L$が$\mathbb{R}^3$の部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(1) 零ベクトル $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ が $L$ に属する。

(2) $L$ の任意のベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ に対して、$\mathbf{u} + \mathbf{v}$ が $L$ に属する（加法について閉じている）。

(3) $L$ の任意のベクトル $\mathbf{u}$ と任意のスカラー $c$ に対して、$c\mathbf{u}$ が $L$ に属する（スカラー倍について閉じている）。

(1) $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ に対して、$0 - 0 + 0 = 0$ なので、$\mathbf{0} \in L$。

(2) $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in L$ と $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} \in L$ とする。すると、$x_1 - x_2 + x_3 = 0$ かつ $y_1 - y_2 + y_3 = 0$ が成り立つ。$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3 \end{bmatrix}$ に対して、$(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3) = (x_1 - x_2 + x_3) + (y_1 - y_2 + y_3) = 0 + 0 = 0$ なので、$\mathbf{u} + \mathbf{v} \in L$。

(3) $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in L$ と任意のスカラー $c$ とする。すると、$x_1 - x_2 + x_3 = 0$ が成り立つ。$c\mathbf{u} = \begin{bmatrix} cx_1 \\ cx_2 \\ cx_3 \end{bmatrix}$ に対して、$cx_1 - cx_2 + cx_3 = c(x_1 - x_2 + x_3) = c(0) = 0$ なので、$c\mathbf{u} \in L$。

したがって、$L$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間である。

問題2：

(1) $L = \langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \rangle$ について、

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であるから、$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ は $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の線形結合で表せる。$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ は線形独立であるため、$L$ の基底は $\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}$ である。

(2) $L = \{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \}$ について、$x_1 = -2x_2 - 3x_3$ となる。したがって、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2x_2 - 3x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ と表せる。

$\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ は線形独立であるため、$L$ の基底は $\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \}$ である。

3. 最終的な答え

問題1：$L$は$V = \mathbb{R}^3$の部分空間である。

問題2：

(1) 基底：$\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}$

(2) 基底：$\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \}$