与えられた5つの式を指数法則を用いて、$a^p$または$a^pb^q$の形で表す問題です。ただし、$a>0, b>0$とします。

1. 問題の内容

与えられた5つの式を指数法則を用いて、$a^p$または$a^pb^q$の形で表す問題です。ただし、$a>0, b>0$とします。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1)

与えられた式は$\frac{(a^2b)^3 \times (ab^3)^2}{(ab^2)^4}$です。

まず、分子と分母の各項を展開します。

$(a^2b)^3 = a^{2 \times 3}b^3 = a^6b^3$

$(ab^3)^2 = a^2b^{3 \times 2} = a^2b^6$

$(ab^2)^4 = a^4b^{2 \times 4} = a^4b^8$

したがって、元の式は$\frac{a^6b^3 \times a^2b^6}{a^4b^8}$となります。

分子をまとめると、$a^6b^3 \times a^2b^6 = a^{6+2}b^{3+6} = a^8b^9$

したがって、式は$\frac{a^8b^9}{a^4b^8}$となります。

指数法則を用いて、$\frac{a^8}{a^4} = a^{8-4} = a^4$、$\frac{b^9}{b^8} = b^{9-8} = b^1 = b$

したがって、最終的な式は$a^4b$となります。

(2)

与えられた式は$\frac{a^{\frac{3}{2}} \times a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}}$です。

まず、分子をまとめます。

$a^{\frac{3}{2}} \times a^{\frac{7}{3}} = a^{\frac{3}{2} + \frac{7}{3}}$

指数の部分を計算します。$\frac{3}{2} + \frac{7}{3} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} + \frac{7 \times 2}{3 \times 2} = \frac{9}{6} + \frac{14}{6} = \frac{23}{6}$

したがって、分子は$a^{\frac{23}{6}}$となります。

元の式は$\frac{a^{\frac{23}{6}}}{a^{\frac{5}{6}}}$となります。

指数法則を用いて、$\frac{a^{\frac{23}{6}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{23}{6} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{18}{6}} = a^3$

したがって、最終的な式は$a^3$となります。

(3)

与えられた式は$(a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{2}{3}})^{-2} (ab^{-1})^{\frac{1}{3}}$です。

まず、各項を展開します。

$(a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{2}{3}})^{-2} = a^{\frac{1}{2} \times (-2)}b^{-\frac{2}{3} \times (-2)} = a^{-1}b^{\frac{4}{3}}$

$(ab^{-1})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}$

元の式は$a^{-1}b^{\frac{4}{3}} \times a^{\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}$となります。

指数法則を用いて、$a^{-1} \times a^{\frac{1}{3}} = a^{-1 + \frac{1}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$

$b^{\frac{4}{3}} \times b^{-\frac{1}{3}} = b^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} = b^{\frac{3}{3}} = b$

したがって、最終的な式は$a^{-\frac{2}{3}}b$となります。

(4)

与えられた式は$\frac{\sqrt[6]{a^5} \times \sqrt[4]{a}}{\sqrt[3]{a^2}}$です。

各項を指数表記に変換します。

$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$

$\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$

$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$

元の式は$\frac{a^{\frac{5}{6}} \times a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{2}{3}}}$となります。

分子をまとめます。

$a^{\frac{5}{6}} \times a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{1}{4}}$

指数の部分を計算します。$\frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$

したがって、分子は$a^{\frac{13}{12}}$となります。

元の式は$\frac{a^{\frac{13}{12}}}{a^{\frac{2}{3}}}$となります。

指数法則を用いて、$\frac{a^{\frac{13}{12}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{13}{12} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{13}{12} - \frac{8}{12}} = a^{\frac{5}{12}}$

したがって、最終的な式は$a^{\frac{5}{12}}$となります。

(5)

与えられた式は$(\frac{\sqrt[3]{ab^2}}{a\sqrt{b}})^2 \times \sqrt[6]{a^5b}$です。

まず、括弧の中を整理します。

$\sqrt[3]{ab^2} = (ab^2)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}$

$a\sqrt{b} = ab^{\frac{1}{2}}$

$\frac{\sqrt[3]{ab^2}}{a\sqrt{b}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}}{ab^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{3} - 1}b^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = a^{-\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{6}}$

$(\frac{\sqrt[3]{ab^2}}{a\sqrt{b}})^2 = (a^{-\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{-\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[6]{a^5b} = (a^5b)^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{1}{6}}$

元の式は$a^{-\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} \times a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{1}{6}}$となります。

指数法則を用いて、$a^{-\frac{4}{3}} \times a^{\frac{5}{6}} = a^{-\frac{8}{6} + \frac{5}{6}} = a^{-\frac{3}{6}} = a^{-\frac{1}{2}}$

$b^{\frac{1}{3}} \times b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = b^{\frac{3}{6}} = b^{\frac{1}{2}}$

したがって、最終的な式は$a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $a^4b$

(2) $a^3$

(3) $a^{-\frac{2}{3}}b$

(4) $a^{\frac{5}{12}}$

(5) $a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$