$2^x + 2^{-x-1} = 3$ のとき、$4^x + 4^{-x-1}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2^x + 2^{-x-1} = 3$ のとき、$4^x + 4^{-x-1}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2^x + 2^{-x-1} = 3$ を変形する。

$2^{-x-1}$ は $2^{-x} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{-x} = \frac{1}{2 \cdot 2^x}$ と書き換えられる。

したがって、$2^x + \frac{1}{2 \cdot 2^x} = 3$ となる。

両辺に $2 \cdot 2^x$ を掛けると、

$2(2^x)^2 + 1 = 6 \cdot 2^x$

$2(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 1 = 0$

$2^x = t$ とおくと、$2t^2 - 6t + 1 = 0$ となる。

解の公式より

$t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$

したがって、$2^x = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$ となる。

次に、$4^x + 4^{-x-1}$ を考える。

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$

$4^{-x-1} = 4^{-x} \cdot 4^{-1} = \frac{1}{4} \cdot 4^{-x} = \frac{1}{4} \cdot (2^2)^{-x} = \frac{1}{4} (2^{-x})^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{t^2}$

したがって、$4^x + 4^{-x-1} = t^2 + \frac{1}{4t^2}$ となる。

$t = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$ より、

$t^2 = (\frac{3 \pm \sqrt{7}}{2})^2 = \frac{9 \pm 6\sqrt{7} + 7}{4} = \frac{16 \pm 6\sqrt{7}}{4} = 4 \pm \frac{3}{2}\sqrt{7}$

$\frac{1}{t^2} = \frac{1}{4 \pm \frac{3}{2}\sqrt{7}} = \frac{1}{4 \pm \frac{3}{2}\sqrt{7}} \cdot \frac{4 \mp \frac{3}{2}\sqrt{7}}{4 \mp \frac{3}{2}\sqrt{7}} = \frac{4 \mp \frac{3}{2}\sqrt{7}}{16 - \frac{9}{4} \cdot 7} = \frac{4 \mp \frac{3}{2}\sqrt{7}}{\frac{64 - 63}{4}} = \frac{4 \mp \frac{3}{2}\sqrt{7}}{\frac{1}{4}} = 16 \mp 6\sqrt{7}$

したがって、

$4^x + 4^{-x-1} = 4 \pm \frac{3}{2}\sqrt{7} + \frac{1}{4}(16 \mp 6\sqrt{7}) = 4 \pm \frac{3}{2}\sqrt{7} + 4 \mp \frac{3}{2}\sqrt{7} = 8$

3. 最終的な答え

8