定数 $a$ が与えられたとき、以下の2つの方程式を解く問題です。 (1) $a^2x + 1 = a(x+1)$ (2) $ax^2 + (a^2-1)x - a = 0$

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、以下の2つの方程式を解く問題です。

(1) $a^2x + 1 = a(x+1)$

(2) $ax^2 + (a^2-1)x - a = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a^2x + 1 = a(x+1)$ を解きます。

まず、右辺を展開します。

$a^2x + 1 = ax + a$

$x$を含む項を左辺に、定数項を右辺に移項します。

$a^2x - ax = a - 1$

左辺を$x$でくくります。

$(a^2 - a)x = a - 1$

$a(a-1)x = a-1$

$a=0$のとき、

$0x = -1$ となり、解なし。

$a=1$のとき、

$0x = 0$ となり、すべての$x$が解。

$a \neq 0$かつ$a \neq 1$のとき、両辺を$a(a-1)$で割ります。

$x = \frac{a-1}{a(a-1)} = \frac{1}{a}$

(2) $ax^2 + (a^2-1)x - a = 0$ を解きます。

$ax^2 + (a^2-1)x - a = 0$

$ax^2 + a^2x - x - a = 0$

$a(x^2 + ax - 1) - x =0$

$a \neq 0$のとき、二次方程式です。因数分解を試みます。

$ax^2 + (a^2-1)x - a = 0$

$(ax-1)(x+a)=0$

$ax - 1 = 0$または$x + a = 0$

$ax = 1$または$x = -a$

$a = 0$のとき、

$0x^2 + (0-1)x - 0 = 0$

$-x=0$

$x=0$

$a \neq 0$のとき、

$x = \frac{1}{a}$または$x = -a$

3. 最終的な答え

(1)

$a=0$のとき、解なし

$a=1$のとき、すべての$x$

$a \neq 0$かつ$a \neq 1$のとき、$x = \frac{1}{a}$

(2)

$a = 0$のとき、$x = 0$

$a \neq 0$のとき、$x = \frac{1}{a}, -a$