与えられた等式を満たす有理数 $p$ と $q$ の値を求める問題です。問題は3つあります。 (1) $(4+p) + (5-q)\sqrt{2} = 0$ (2) $1 + \sqrt{5}p + (3-2\sqrt{5})q = 0$ (3) $(2+3\sqrt{2})p + (3-2\sqrt{2})q = 8 - \sqrt{2}$

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた等式を満たす有理数 $p$ と $q$ の値を求める問題です。問題は3つあります。

(1) $(4+p) + (5-q)\sqrt{2} = 0$

(2) $1 + \sqrt{5}p + (3-2\sqrt{5})q = 0$

(3) $(2+3\sqrt{2})p + (3-2\sqrt{2})q = 8 - \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

(1) $(4+p) + (5-q)\sqrt{2} = 0$

$p$ と $q$ は有理数なので、$4+p$ と $5-q$ も有理数です。無理数である $\sqrt{2}$ の係数が0でなければならないため、

$4+p = 0$ かつ $5-q = 0$

したがって、

$p = -4$

$q = 5$

(2) $1 + \sqrt{5}p + (3-2\sqrt{5})q = 0$

$1 + \sqrt{5}p + 3q - 2\sqrt{5}q = 0$

$(1 + 3q) + (p - 2q)\sqrt{5} = 0$

$p$ と $q$ は有理数なので、$1+3q$ と $p-2q$ も有理数です。無理数である $\sqrt{5}$ の係数が0でなければならないため、

$1 + 3q = 0$ かつ $p - 2q = 0$

$q = -\frac{1}{3}$

$p = 2q = -\frac{2}{3}$

(3) $(2+3\sqrt{2})p + (3-2\sqrt{2})q = 8 - \sqrt{2}$

$2p + 3\sqrt{2}p + 3q - 2\sqrt{2}q = 8 - \sqrt{2}$

$(2p + 3q) + (3p - 2q)\sqrt{2} = 8 - \sqrt{2}$

有理数部分と無理数部分を比較すると、

$2p + 3q = 8$

$3p - 2q = -1$

この連立方程式を解きます。

$2p + 3q = 8$ に3をかけると $6p + 9q = 24$

$3p - 2q = -1$ に2をかけると $6p - 4q = -2$

$6p + 9q - (6p - 4q) = 24 - (-2)$

$13q = 26$

$q = 2$

$2p + 3(2) = 8$

$2p + 6 = 8$

$2p = 2$

$p = 1$

3. 最終的な答え

(1) $p = -4, q = 5$

(2) $p = -\frac{2}{3}, q = -\frac{1}{3}$

(3) $p = 1, q = 2$