2次関数 $f(x) = x^2 + 6x + 5a$ について、以下の問いに答えます。 (1) グラフが点 $(1, -3)$ を通るときの $a$ の値を求めます。 (2) グラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。 (3) $x \ge -1$ の範囲で常に $f(x) \ge 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。 (4) $a = 0$ のとき、$k \le x \le k+2$ における $y = f(x)$ の最小値 $m(k)$ を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 + 6x + 5a$ について、以下の問いに答えます。

(1) グラフが点 $(1, -3)$ を通るときの $a$ の値を求めます。

(2) グラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。

(3) $x \ge -1$ の範囲で常に $f(x) \ge 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

(4) $a = 0$ のとき、$k \le x \le k+2$ における $y = f(x)$ の最小値 $m(k)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が点 $(1, -3)$ を通るので、$f(1) = -3$ を満たします。

$x=1$ を代入すると、

$1^2 + 6(1) + 5a = -3$

$1 + 6 + 5a = -3$

$7 + 5a = -3$

$5a = -10$

$a = -2$

(2) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 + 6x + 5a = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5a = (x+3)^2 - 9 + 5a$

よって、頂点の座標は $(-3, -9 + 5a)$ となります。

(3) $x \ge -1$ で常に $f(x) \ge 0$ となる条件を考えます。

$f(x) = (x+3)^2 - 9 + 5a$ であるから、軸は $x = -3$ です。

$x \ge -1$ の範囲では、$f(x)$ は単調増加します。

したがって、$x = -1$ で $f(x) \ge 0$ であればよいです。

$f(-1) = (-1+3)^2 - 9 + 5a = 4 - 9 + 5a = 5a - 5 \ge 0$

$5a \ge 5$

$a \ge 1$

(4) $a = 0$ のとき、$f(x) = x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9$ となります。

$k \le x \le k+2$ における最小値 $m(k)$ を求めます。軸は $x = -3$ です。

(i) $k+2 < -3$ つまり $k < -5$ のとき、区間内で $f(x)$ は単調減少なので、最小値は $f(k+2) = (k+2)^2 + 6(k+2) = k^2 + 4k + 4 + 6k + 12 = k^2 + 10k + 16$

(ii) $k \le -3 \le k+2$ つまり $-5 \le k \le -3$ のとき、頂点を含むので、最小値は $f(-3) = -9$

(iii) $k > -3$ のとき、区間内で $f(x)$ は単調増加なので、最小値は $f(k) = k^2 + 6k$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2$

(2) $(-3, -9 + 5a)$

(3) $a \ge 1$

(4)

$k < -5$ のとき、$m(k) = k^2 + 10k + 16$

$-5 \le k \le -3$ のとき、$m(k) = -9$

$k > -3$ のとき、$m(k) = k^2 + 6k$