与えられた8つの2次式をそれぞれ平方完成させる問題です。

1. 問題の内容

与えられた8つの2次式をそれぞれ平方完成させる問題です。

2. 解き方の手順

平方完成の手順は以下の通りです。

1. $x^2$ の係数が1であることを確認します。もし1でなければ、式全体をその係数で割ります。今回の問題では、すべての式の $x^2$ の係数は1なので、このステップは省略できます。

2. $x$ の係数の半分を計算します。

3. 手順2で計算した値を2乗します。

4. $x^2 + bx$ の形の式に対し、$x^2 + bx = (x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2$ を適用します。

5. 定数項がある場合は、それを考慮して計算します。

各問題に対する解き方を以下に示します。

(1) $x^2 + 8x$

* $x$ の係数は8なので、その半分は4です。

* 4を2乗すると16です。

したがって、$x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$

(2) $x^2 - 4x$

* $x$ の係数は-4なので、その半分は-2です。

* -2を2乗すると4です。

したがって、$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$

(3) $x^2 + 6x + 8$

* $x$ の係数は6なので、その半分は3です。

* 3を2乗すると9です。

したがって、$x^2 + 6x + 8 = (x + 3)^2 - 9 + 8 = (x + 3)^2 - 1$

(4) $x^2 - 8x + 10$

* $x$ の係数は-8なので、その半分は-4です。

* -4を2乗すると16です。

したがって、$x^2 - 8x + 10 = (x - 4)^2 - 16 + 10 = (x - 4)^2 - 6$

(5) $x^2 + 5x$

* $x$ の係数は5なので、その半分は $\frac{5}{2}$ です。

* $\frac{5}{2}$ を2乗すると $\frac{25}{4}$ です。

したがって、$x^2 + 5x = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$

(6) $x^2 - x + 1$

* $x$ の係数は-1なので、その半分は $-\frac{1}{2}$ です。

* $-\frac{1}{2}$ を2乗すると $\frac{1}{4}$ です。

したがって、$x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

(7) $x^2 + x - 2$

* $x$ の係数は1なので、その半分は $\frac{1}{2}$ です。

* $\frac{1}{2}$ を2乗すると $\frac{1}{4}$ です。

したがって、$x^2 + x - 2 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(8) $x^2 - 7x + 12$

* $x$ の係数は-7なので、その半分は $-\frac{7}{2}$ です。

* $-\frac{7}{2}$ を2乗すると $\frac{49}{4}$ です。

したがって、$x^2 - 7x + 12 = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + 12 = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 4)^2 - 16$

(2) $(x - 2)^2 - 4$

(3) $(x + 3)^2 - 1$

(4) $(x - 4)^2 - 6$

(5) $(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$

(6) $(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

(7) $(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(8) $(x - \frac{7}{2})^2 - \frac{1}{4}$