$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ の二重根号を外すことを考えます。

$a + b = 2$ かつ $ab = (\sqrt{3}/2)^2 = 3/4$ となる $a, b$ を見つけたい。

$2+\sqrt{3} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{2} = \frac{(1+\sqrt{3})^2}{2}$

したがって、

$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{(1+\sqrt{3})^2}{2}} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

または、

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ と仮定します。

両辺を2乗すると、

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 2 + \sqrt{3}$

$a + b + 2\sqrt{ab} = 2 + \sqrt{3}$

したがって、$a+b=2$ かつ $4ab=3$。

$b = 2-a$ を $4ab=3$ に代入すると、

$4a(2-a)=3$

$8a-4a^2=3$

$4a^2 - 8a + 3 = 0$

$(2a-1)(2a-3)=0$

$a = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{2}$ のとき $b = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2}$ のとき $b = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

よって、$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$