与えられた命題「$2x + 3y > 0$ ならば、$x > 0$ または $y > 0$である」を、対偶を利用して証明せよ。

1. 問題の内容

与えられた命題「$2x + 3y > 0$ ならば、$x > 0$ または $y > 0$である」を、対偶を利用して証明せよ。

2. 解き方の手順

対偶を考える。元の命題の対偶は「$x \leq 0$ かつ $y \leq 0$ ならば、$2x + 3y \leq 0$である」。

$x \leq 0$ かつ $y \leq 0$ のとき、$2x \leq 0$ かつ $3y \leq 0$ である。

したがって、$2x + 3y \leq 0$ である。

ゆえに、対偶は真である。

対偶が真であるから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

$x \leq 0$ かつ $y \leq 0$ ならば、$2x + 3y \leq 0$ である。したがって、対偶は真であり、元の命題「$2x + 3y > 0$ ならば、$x > 0$ または $y > 0$である」も真である。