次の4つの2次不等式を解きます。 (1) $2x^2 - 5x + 2 \ge 0$ (2) $2x^2 + 5x + 3 < 0$ (3) $x^2 + 2x - 1 \le 0$ (4) $x^2 - 5 > 0$

1. 問題の内容

次の4つの2次不等式を解きます。

(1) $2x^2 - 5x + 2 \ge 0$

(2) $2x^2 + 5x + 3 < 0$

(3) $x^2 + 2x - 1 \le 0$

(4) $x^2 - 5 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 5x + 2 \ge 0$

まず、左辺を因数分解します。

$(2x - 1)(x - 2) \ge 0$

この不等式が成り立つのは、$2x - 1 \ge 0$ かつ $x - 2 \ge 0$、または $2x - 1 \le 0$ かつ $x - 2 \le 0$ のときです。

前者: $x \ge \frac{1}{2}$ かつ $x \ge 2$ より、$x \ge 2$

後者: $x \le \frac{1}{2}$ かつ $x \le 2$ より、$x \le \frac{1}{2}$

したがって、$x \le \frac{1}{2}$ または $x \ge 2$

(2) $2x^2 + 5x + 3 < 0$

左辺を因数分解します。

$(2x + 3)(x + 1) < 0$

この不等式が成り立つのは、$2x + 3 > 0$ かつ $x + 1 < 0$、または $2x + 3 < 0$ かつ $x + 1 > 0$ のときです。

前者: $x > -\frac{3}{2}$ かつ $x < -1$ より、$-\frac{3}{2} < x < -1$

後者: $x < -\frac{3}{2}$ かつ $x > -1$ これはありえません。

したがって、$-\frac{3}{2} < x < -1$

(3) $x^2 + 2x - 1 \le 0$

左辺を平方完成します。

$(x+1)^2 - 2 \le 0$

$(x+1)^2 \le 2$

$-\sqrt{2} \le x+1 \le \sqrt{2}$

$-1 - \sqrt{2} \le x \le -1 + \sqrt{2}$

(4) $x^2 - 5 > 0$

$x^2 > 5$

$x < -\sqrt{5}$ または $x > \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x \le \frac{1}{2}$ または $x \ge 2$

(2) $-\frac{3}{2} < x < -1$

(3) $-1 - \sqrt{2} \le x \le -1 + \sqrt{2}$

(4) $x < -\sqrt{5}$ または $x > \sqrt{5}$