## 問題の内容

## 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{3}+1}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{3}-1}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $x^2y+xy^2$

(5) $x^3+y^3$

## 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$

$y = \frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

(1) $x+y$ の値を求めます。

$x+y = (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}$

(2) $xy$ の値を求めます。

$xy = (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = 3-1 = 2$

(3) $x^2+y^2$ の値を求めます。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{3})^2 - 2(2) = 12 - 4 = 8$

(4) $x^2y+xy^2$ の値を求めます。

$x^2y+xy^2 = xy(x+y) = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$

(5) $x^3+y^3$ の値を求めます。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 2\sqrt{3}((2\sqrt{3})^2 - 3(2)) = 2\sqrt{3}(12-6) = 2\sqrt{3}(6) = 12\sqrt{3}$

## 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{3}$

(2) $xy = 2$

(3) $x^2+y^2 = 8$

(4) $x^2y+xy^2 = 4\sqrt{3}$

(5) $x^3+y^3 = 12\sqrt{3}$