与えられた数列 $\{a_n\}$ は公比が正の等比数列で、$a_2 = 12$、$a_4 = 48$ を満たす。また、数列 $\{b_n\}$ は等差数列で、$b_6 = 23$、$b_2 + b_5 = 26$ を満たす。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表す。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の初項と公差を求め、さらに初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ は公比が正の等比数列で、$a_2 = 12$、$a_4 = 48$ を満たす。また、数列 $\{b_n\}$ は等差数列で、$b_6 = 23$、$b_2 + b_5 = 26$ を満たす。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表す。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の初項と公差を求め、さらに初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列 $\{a_n\}$ について、初項を $a$、公比を $r$ とすると、$a_n = ar^{n-1}$ と表せる。

$a_2 = ar = 12$

$a_4 = ar^3 = 48$

この2式から $r$ と $a$ を求める。

$ar^3 / ar = 48 / 12$

$r^2 = 4$

公比 $r$ は正であるから、$r = 2$。

$a \cdot 2 = 12$ より、$a = 6$。

したがって、$a_n = 6 \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^n$。

(2) 等差数列 $\{b_n\}$ について、初項を $b$、公差を $d$ とすると、$b_n = b + (n-1)d$ と表せる。

$b_6 = b + 5d = 23$

$b_2 + b_5 = (b + d) + (b + 4d) = 2b + 5d = 26$

この2式から $b$ と $d$ を求める。

$2b + 5d = 26$

$b + 5d = 23$ より、$b = 26 - 23 = 3$。

$3 + 5d = 23$

$5d = 20$

$d = 4$

したがって、初項は $b = 3$、公差は $d = 4$。

数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{n}{2} (2b + (n-1)d) = \frac{n}{2} (2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 4) = \frac{n}{2} (6 + 4n - 4) = \frac{n}{2} (4n + 2) = n(2n + 1) = 2n^2 + n$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 \cdot 2^n$

(2) 初項: $3$, 公差: $4$, $S_n = 2n^2 + n$