問題は5つの小問から構成されています。 (1) 3点を通る2次関数を求める問題。 (2) 3点を通る2次関数を求める問題。 (3) 2次関数の最大値が与えられたときの定数の値とその時の最小値を求める問題。 (4) 2次関数の最小値が与えられたときの定数の値とその時の最大値を求める問題。 (5) 2次関数のグラフがx軸と接するときの定数の値を求める問題。

1. 問題の内容

問題は5つの小問から構成されています。

(1) 3点を通る2次関数を求める問題。

(2) 3点を通る2次関数を求める問題。

(3) 2次関数の最大値が与えられたときの定数の値とその時の最小値を求める問題。

(4) 2次関数の最小値が与えられたときの定数の値とその時の最大値を求める問題。

(5) 2次関数のグラフがx軸と接するときの定数の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点の座標を代入して連立方程式を解く。

$a + b + c = 0$

$c = 1$

$4a - 2b + c = 15$

これを解くと、$c = 1, a = 3, b = -4$ となる。よって、$y = 3x^2 - 4x + 1$

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点の座標を代入して連立方程式を解く。

$9a + 3b + c = 0$

$c = -9$

$a - b + c = -4$

これを解くと、$c = -9, a = 2, b = -3$ となる。よって、$y = 2x^2 - 3x - 9$

(3) $y = -x^2 + 2x + 2a$ を平方完成すると、

$y = -(x-1)^2 + 1 + 2a$

定義域 $-2 \leq x \leq 1$ において、頂点 $x=1$ を含むので、$x=1$ で最大値をとる。

$1 + 2a = 7$ より、$2a = 6$ で $a = 3$

このとき、$y = -x^2 + 2x + 6$

$x=-2$ の時、最小値 $y = -4 - 4 + 6 = -2$

(4) $y = x^2 - 6x + a$ を平方完成すると、

$y = (x-3)^2 - 9 + a$

定義域 $1 \leq x \leq 4$ において、頂点 $x=3$ を含むので、$x=3$ で最小値をとる。

$-9 + a = -3$ より、$a = 6$

このとき、$y = x^2 - 6x + 6$

$x=1$ の時、最大値 $y = 1 - 6 + 6 = 1$

(5) $y = x^2 - 2(a-1)x + 4$ のグラフがx軸と接するとき、判別式 $D = 0$ である。

$D/4 = (a-1)^2 - 4 = 0$

$(a-1)^2 = 4$

$a-1 = \pm 2$

$a = 1 \pm 2$

$a = 3, -1$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 - 4x + 1$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 9$

(3) $a = 3$, 最小値 $-2$

(4) $a = 6$, 最大値 $1$

(5) $a = 3, -1$