方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解く。

1. 問題の内容

方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号を含む方程式なので、場合分けを行う。

* 場合1: $x < 0$ のとき

$|2x| = -2x$ および $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ であるから、方程式は以下のように変形できる。

$-2x + (-x+2) = 6$

$-3x + 2 = 6$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

これは $x < 0$ を満たすので、解の候補となる。

* 場合2: $0 \le x < 2$ のとき

$|2x| = 2x$ および $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ であるから、方程式は以下のように変形できる。

$2x + (-x+2) = 6$

$x + 2 = 6$

$x = 4$

これは $0 \le x < 2$ を満たさないので、解ではない。

* 場合3: $x \ge 2$ のとき

$|2x| = 2x$ および $|x-2| = x-2$ であるから、方程式は以下のように変形できる。

$2x + (x-2) = 6$

$3x - 2 = 6$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

これは $x \ge 2$ を満たすので、解の候補となる。

以上より、解は $x = -\frac{4}{3}$ および $x = \frac{8}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}$