xについての連立不等式 $\begin{cases} x > 3a+1 \\ 2x-1 > 6(x-2) \end{cases}$ について、以下の条件を満たす $a$ の値の範囲を求める問題。ただし、$a$ は定数である。 (1) この連立不等式の解が存在しない。 (2) この連立不等式の解に2が入る。 (3) この連立不等式の解に入る整数が3つだけとなる。

1. 問題の内容

xについての連立不等式

$\begin{cases}

x > 3a+1 \\

2x-1 > 6(x-2)

\end{cases}$

について、以下の条件を満たす $a$ の値の範囲を求める問題。ただし、$a$ は定数である。

(1) この連立不等式の解が存在しない。

(2) この連立不等式の解に2が入る。

(3) この連立不等式の解に入る整数が3つだけとなる。

2. 解き方の手順

まず、$2x-1 > 6(x-2)$ を解く。

$2x - 1 > 6x - 12$

$-4x > -11$

$4x < 11$

$x < \frac{11}{4}$

(1) 連立不等式の解が存在しないためには、$x > 3a+1$ と $x < \frac{11}{4}$ を満たす $x$ が存在しない必要がある。

つまり、$3a+1 \ge \frac{11}{4}$ である必要がある。

$3a \ge \frac{11}{4} - 1$

$3a \ge \frac{7}{4}$

$a \ge \frac{7}{12}$

(2) 連立不等式の解に2が入るためには、$3a+1 < 2$ かつ $2 < \frac{11}{4}$ でなければならない。$2 < \frac{11}{4}$は常に成り立つ。

$3a+1 < 2$

$3a < 1$

$a < \frac{1}{3}$

さらに、連立不等式の解が存在する必要があるので、$3a+1 < \frac{11}{4}$

$3a < \frac{11}{4} - 1 = \frac{7}{4}$

$a < \frac{7}{12}$

よって、$3a+1 < 2$ となる $a$ の範囲は $a < \frac{1}{3}$ である。また、 $x$の範囲は $3a+1 < x < \frac{11}{4}$なので、$3a+1 < 2$ となるためには$a < \frac{1}{3}$である。

(3) 連立不等式の解に入る整数が3つだけとなるためには、$x>3a+1$かつ$x < \frac{11}{4} = 2.75$より、$3a+1 < x < \frac{11}{4}$を満たす整数が3つであれば良い。

$\frac{11}{4}=2.75$より、$x$は2以下の整数であればよいので、2,1,0の3つとなる。

したがって、$3a+1$は-1より小さく、-2以上であればよい。

$-2 \le 3a+1 < -1$

$-3 \le 3a < -2$

$-1 \le a < -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a \ge \frac{7}{12}$

(2) $a < \frac{1}{3}$

(3) $-1 \le a < -\frac{2}{3}$