(1) 絶対値を含む方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解く問題です。 (2) 絶対値を含む不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を解く問題です。

1. 問題の内容

(1) 絶対値を含む方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解く問題です。

(2) 絶対値を含む不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値を含む方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解く。

絶対値記号の中身の符号が変わる点で場合分けを行う。

$x < 0$ のとき、$2x < 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、 $|2x| = -2x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

$0 \le x < 2$ のとき、$2x \ge 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、 $|2x| = 2x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

$2 \le x$ のとき、$2x \ge 0$ かつ $x-2 \ge 0$ なので、 $|2x| = 2x$ かつ $|x-2| = x-2$

i) $x < 0$ のとき

$-2x + (-x+2) = 6$

$-3x + 2 = 6$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

これは $x < 0$ を満たすので解である。

ii) $0 \le x < 2$ のとき

$2x + (-x+2) = 6$

$x+2 = 6$

$x = 4$

これは $0 \le x < 2$ を満たさないので解ではない。

iii) $2 \le x$ のとき

$2x + (x-2) = 6$

$3x - 2 = 6$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

これは $2 \le x$ を満たすので解である。

(2) 絶対値を含む不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を解く。

絶対値記号の中身の符号が変わる点で場合分けを行う。

$x < 0$ のとき、$2x < 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、 $|2x| = -2x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

$0 \le x < 2$ のとき、$2x \ge 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、 $|2x| = 2x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

$2 \le x$ のとき、$2x \ge 0$ かつ $x-2 \ge 0$ なので、 $|2x| = 2x$ かつ $|x-2| = x-2$

i) $x < 0$ のとき

$-2x + (-x+2) < 6$

$-3x + 2 < 6$

$-3x < 4$

$3x > -4$

$x > -\frac{4}{3}$

$x < 0$ と $x > -\frac{4}{3}$ の共通範囲は $-\frac{4}{3} < x < 0$

ii) $0 \le x < 2$ のとき

$2x + (-x+2) < 6$

$x+2 < 6$

$x < 4$

$0 \le x < 2$ と $x < 4$ の共通範囲は $0 \le x < 2$

iii) $2 \le x$ のとき

$2x + (x-2) < 6$

$3x - 2 < 6$

$3x < 8$

$x < \frac{8}{3}$

$2 \le x$ と $x < \frac{8}{3}$ の共通範囲は $2 \le x < \frac{8}{3}$

i), ii), iii) を合わせると、$-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}$

(2) $-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$