関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ について、定義域 $5 \le x \le 6$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ について、定義域 $5 \le x \le 6$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5 = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x) + 5 = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x + 9 - 9) + 5 = -\frac{1}{3}((x-3)^2 - 9) + 5 = -\frac{1}{3}(x-3)^2 + 3 + 5 = -\frac{1}{3}(x-3)^2 + 8$

したがって、$f(x) = -\frac{1}{3}(x-3)^2 + 8$ となります。

これは、頂点が $(3, 8)$ で上に凸の放物線です。

定義域が $5 \le x \le 6$ であるため、この範囲で $f(x)$ の最大値と最小値を考えます。

軸 $x=3$ は定義域 $5 \le x \le 6$ に含まれないので、定義域の両端 $x=5$ と $x=6$ における関数値を比較します。

$f(5) = -\frac{1}{3}(5-3)^2 + 8 = -\frac{1}{3}(2)^2 + 8 = -\frac{4}{3} + 8 = \frac{-4+24}{3} = \frac{20}{3}$

$f(6) = -\frac{1}{3}(6-3)^2 + 8 = -\frac{1}{3}(3)^2 + 8 = -\frac{9}{3} + 8 = -3 + 8 = 5$

$f(5) = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$

$f(6) = 5$

定義域 $5 \le x \le 6$ において、$f(5) > f(6)$ なので、$x=5$ のとき最大値をとり、$x=6$ のとき最小値をとります。

最大値は $\frac{20}{3}$、最小値は $5$ です。

3. 最終的な答え

最大値は $\frac{20}{3}$、最小値は $5$ です。