関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ について、定義域が $2 \le x \le 5$ のときの最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ について、定義域が $2 \le x \le 5$ のときの最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5 = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x) + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x + 9 - 9) + 5 = -\frac{1}{3}((x - 3)^2 - 9) + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 3 + 5 = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 8$

したがって、頂点の座標は $(3, 8)$ であり、上に凸なグラフです。

次に、定義域 $2 \le x \le 5$ における最大値と最小値を考えます。

頂点 $x=3$ は定義域内に含まれるため、$x=3$ で最大値をとります。

最大値は $f(3) = 8$ です。

次に、定義域の端点 $x=2$ と $x=5$ での関数の値を計算します。

$f(2) = -\frac{1}{3}(2 - 3)^2 + 8 = -\frac{1}{3}(1) + 8 = 8 - \frac{1}{3} = \frac{24 - 1}{3} = \frac{23}{3}$

$f(5) = -\frac{1}{3}(5 - 3)^2 + 8 = -\frac{1}{3}(4) + 8 = 8 - \frac{4}{3} = \frac{24 - 4}{3} = \frac{20}{3}$

$f(2) = \frac{23}{3} \approx 7.67$

$f(5) = \frac{20}{3} \approx 6.67$

したがって、$x=5$ で最小値をとります。

最小値は $\frac{20}{3}$ です。

3. 最終的な答え

最大値は $8$、最小値は $\frac{20}{3}$ です。