関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ について、定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ について、定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数の頂点の座標を求めます。

$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x) + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x + 9 - 9) + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}((x - 3)^2 - 9) + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 3 + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 8$

頂点の座標は $(3, 8)$ であり、上に凸なグラフです。

次に、定義域の両端 $x = 0$ と $x = 4$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(0) = -\frac{1}{3}(0)^2 + 2(0) + 5 = 5$

$f(4) = -\frac{1}{3}(4)^2 + 2(4) + 5 = -\frac{16}{3} + 8 + 5 = -\frac{16}{3} + 13 = \frac{-16 + 39}{3} = \frac{23}{3}$

定義域 $0 \le x \le 4$ において、頂点の $x$ 座標である $x=3$ が含まれているので、最大値は頂点の $y$ 座標である $8$ となります。

最小値を求めるために、$f(0) = 5$ と $f(4) = \frac{23}{3}$ を比較します。

$\frac{23}{3} \approx 7.67$ なので、$f(0) = 5$ が最小値となります。

3. 最終的な答え

最大値は $8$ であり、最小値は $5$ です。