2次関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ の定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ の定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5 = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x) + 5$

$= -\frac{1}{3}(x^2 - 6x + 9 - 9) + 5$

$= -\frac{1}{3}((x - 3)^2 - 9) + 5$

$= -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 3 + 5$

$= -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 8$

したがって、この2次関数の頂点は $(3, 8)$ であり、上に凸の放物線です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 1$ における関数の値を考えます。頂点 $x = 3$ は定義域の外にあるため、定義域の端点で最大値または最小値を取ります。

$x = -1$ のとき:

$f(-1) = -\frac{1}{3}(-1)^2 + 2(-1) + 5 = -\frac{1}{3} - 2 + 5 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{9 - 1}{3} = \frac{8}{3}$

$x = 1$ のとき:

$f(1) = -\frac{1}{3}(1)^2 + 2(1) + 5 = -\frac{1}{3} + 2 + 5 = 7 - \frac{1}{3} = \frac{21 - 1}{3} = \frac{20}{3}$

$f(1)$ の方が $f(-1)$ より大きいので、最大値は $\frac{20}{3}$、最小値は $\frac{8}{3}$ です。

3. 最終的な答え

最大値は $\frac{20}{3}$ であり、最小値は $\frac{8}{3}$ です。