$x$ の2次不等式 $6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0$ を満たす整数 $x$ が10個となるように、正の整数 $a$ の値を求める。

## 問題58(2)

1. 問題の内容

$x$ の2次不等式 $6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0$ を満たす整数 $x$ が10個となるように、正の整数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次不等式を解き、$x$ の範囲を $a$ を用いて表す。

次に、$x$ の範囲に含まれる整数の個数が10個になるような $a$ の値を求める。

まず、与えられた2次不等式を因数分解する。

$6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0$

$6x^2 - (16a+7)x + 10a^2 + 9a + 2 < 0$

$(2x - (5a+2))(3x - (2a+1)) < 0$

$(2x - 5a - 2)(3x - 2a - 1) < 0$

この不等式を解くために、$2x - 5a - 2 = 0$ と $3x - 2a - 1 = 0$ を満たす $x$ を求める。

$2x = 5a + 2$ より、$x = \frac{5a+2}{2}$

$3x = 2a + 1$ より、$x = \frac{2a+1}{3}$

$a>0$ より、$5a+2 > 0$, $2a+1 > 0$である。また,

$\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3} = \frac{15a+6 - 4a-2}{6} = \frac{11a+4}{6} > 0$

なので、$\frac{2a+1}{3} < \frac{5a+2}{2}$である。

したがって、不等式を満たす $x$ の範囲は

$\frac{2a+1}{3} < x < \frac{5a+2}{2}$

この範囲に含まれる整数 $x$ の個数が10個となるような $a$ を求める。

$x$ の範囲の幅は

$\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3} = \frac{11a+4}{6}$

である。

$a$ が整数なので、$a=1$ のとき $\frac{2a+1}{3} = 1$, $\frac{5a+2}{2} = \frac{7}{2}=3.5$ なので、不等式を満たす整数は$2, 3$の2個。

$a=2$ のとき $\frac{2a+1}{3} = \frac{5}{3}$, $\frac{5a+2}{2} = 6$ なので、不等式を満たす整数は$2, 3, 4, 5$の4個。

$a=3$ のとき $\frac{2a+1}{3} = \frac{7}{3}$, $\frac{5a+2}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$ なので、不等式を満たす整数は$3, 4, 5, 6, 7, 8$の6個。

$a=4$ のとき $\frac{2a+1}{3} = 3$, $\frac{5a+2}{2} = 11$ なので、不等式を満たす整数は$4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$の7個。

$a=5$ のとき $\frac{2a+1}{3} = \frac{11}{3}$, $\frac{5a+2}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ なので、不等式を満たす整数は$4, 5, ..., 13$の10個。

$a=6$ のとき $\frac{2a+1}{3} = \frac{13}{3}$, $\frac{5a+2}{2} = \frac{32}{2} = 16$ なので、不等式を満たす整数は$5, 6, ..., 15$の11個。

したがって、$a=5$のとき、$x$ の範囲 $\frac{11}{3} < x < \frac{27}{2}$ を満たす整数は $4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13$ の10個である。

3. 最終的な答え

$a = 5$