与えられた二次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 2$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x) = 0$ の判別式の値を求め、その値をもとに $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の数を求めよ。 (2) (1)の結果をもとに、二次不等式 $f(x) < 0$ の解を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 2$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x) = 0$ の判別式の値を求め、その値をもとに $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の数を求めよ。

(2) (1)の結果をもとに、二次不等式 $f(x) < 0$ の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x) = x^2 - 2x + 2 = 0$ の判別式 $D$ を求める。判別式は $D = b^2 - 4ac$ で与えられる。ここで、$a = 1$, $b = -2$, $c = 2$ であるから、

$D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$

判別式 $D = -4 < 0$ であるので、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の数は 0 個である。

(2)

$f(x) < 0$ の解を求める。$f(x) = x^2 - 2x + 2$ であるから、$x^2 - 2x + 2 < 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。

$f(x) = (x-1)^2 + 1$と平方完成できる。

$f(x)$ は常に正である($f(x) \ge 1$)ため、$f(x) < 0$ を満たす $x$ は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 判別式の値: -4, 交点の数: 0個

(2) 解なし