2次方程式 $5x^2 - 7x + k = 0$ の2つの解が $\sin \theta$、$\cos \theta$ であるとき、定数 $k$ の値を求め、また2つの解を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $5x^2 - 7x + k = 0$ の2つの解が $\sin \theta$、$\cos \theta$ であるとき、定数 $k$ の値を求め、また2つの解を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式の解と係数の関係を利用します。2つの解を $\alpha$、$\beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{-7}{5} = \frac{7}{5}$

$\alpha \beta = \frac{k}{5}$

今回の問題では、$\alpha = \sin \theta$、$\beta = \cos \theta$ なので、

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{7}{5}$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{k}{5}$

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{7}{5})^2$ を計算します。

$(\sin \theta)^2 + 2\sin \theta \cos \theta + (\cos \theta)^2 = \frac{49}{25}$

$(\sin \theta)^2 + (\cos \theta)^2 = 1$ なので、

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{49}{25}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{49}{25} - 1 = \frac{24}{25}$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{12}{25}$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{k}{5}$ なので、

$\frac{k}{5} = \frac{12}{25}$

$k = \frac{12}{25} \times 5 = \frac{12}{5}$

$k = \frac{12}{5}$ を $5x^2 - 7x + k = 0$ に代入します。

$5x^2 - 7x + \frac{12}{5} = 0$

両辺を5倍します。

$25x^2 - 35x + 12 = 0$

$(5x - 3)(5x - 4) = 0$

$x = \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{12}{5}$

2つの解は $\frac{3}{5}, \frac{4}{5}$