SHIKENの6文字を並べ替えてできる順列を辞書式順序で並べる。EHIKNSが1番目であるとき、(1) 140番目の文字列を求めよ。(2) SHIKENは何番目の文字列か。

1. 問題の内容

SHIKENの6文字を並べ替えてできる順列を辞書式順序で並べる。EHIKNSが1番目であるとき、(1) 140番目の文字列を求めよ。(2) SHIKENは何番目の文字列か。

2. 解き方の手順

(1) 140番目の文字列を求める。

SHIKENの文字をアルファベット順に並べるとEHIKNSとなる。

まず、先頭の文字で場合分けする。

- Eで始まるもの：残りの5文字の順列なので、5! = 120個

- Hで始まるもの：残りの5文字の順列なので、5! = 120個

140番目はEで始まるものではないので、Hで始まるものを考える。

Eから始まる順列は120個なので、140番目はHで始まるもののうちの20番目となる。

Hの次はEで始まるものを考える。

- HEで始まるもの：残りの4文字の順列なので、4! = 24個

20番目はHEで始まるものではない。

- HIで始まるもの：残りの4文字の順列なので、4! = 24個

20 < 24 なので、HIで始まるもののうちの20番目を求める。

- HIEで始まるもの：残りの3文字の順列なので、3! = 6個

- HIKで始まるもの：残りの3文字の順列なので、3! = 6個

- HINで始まるもの：残りの3文字の順列なので、3! = 6個

20 = 3*6 + 2なので、HINで始まるもののうちの2番目を求める。

- HINEで始まるもの：残りの2文字の順列なので、2! = 2個

2番目なので、HINEKS

よって、140番目の文字列はHINEKS

(2) SHIKENが何番目の文字列かを求める。

アルファベット順にEHIKNS

- Eで始まるもの：5! = 120個

- Hで始まるもの：5! = 120個

- Iで始まるもの：5! = 120個

- Kで始まるもの：5! = 120個

- Nで始まるもの：5! = 120個

Sの前にE,H,I,K,Nがあるので、5*120 = 600個

- SEで始まるもの：4! = 24個

- SHで始まるもの：4! = 24個

SHIKENなので、SHまで確定

- SHEで始まるもの：3! = 6個

- SHIで始まるもの：3! = 6個

- SHEKで始まるもの：2! = 2個

SHIで始まるものを考えると

- SHIEで始まるもの：2! = 2個

- SHIKEN: 1個

SHIKENまでの順列の個数は600 + 24 + 6 + 2 + 1 = 633

1番目はEHIKNSなので、

求める順番は 633 + 1 = 634

3. 最終的な答え

(1) HINEKS

(2) 634