図のような道のある町において、A地点からB地点まで、C地点とD地点の間を通らずに最短経路で行く方法は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

図のような道のある町において、A地点からB地点まで、C地点とD地点の間を通らずに最短経路で行く方法は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、AからBまでのすべての最短経路を求めます。次に、AからBまでの最短経路のうち、CとDの間を通る経路の数を求めます。最後に、すべての最短経路の数からCとDの間を通る経路の数を引けば、CとDの間を通らない経路の数が求まります。

* AからBまでの最短経路の総数

AからBまで行くには、右に4回、上に3回移動する必要があります。したがって、合計7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数が、最短経路の総数となります。これは組み合わせで計算できます。

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{}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35

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* AからBまでの最短経路のうち、CとDの間を通る経路の数

CとDの間を通る経路は、AからCまで行き、CからDへ行き、DからBへ行く経路です。

* AからCまでの最短経路数

AからCへ行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。

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{}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

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* DからBまでの最短経路数

DからBへ行くには、右に1回、上に1回移動する必要があります。

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{}_2 C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2

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したがって、AからCを経由してDを通ってBへ行く経路は、

$6 \times 1 \times 2 = 12$ 通りです。

* CとDの間を通らない経路の数

AからBまでのすべての最短経路から、CとDの間を通る経路の数を引きます。

$35 - 12 = 23$

3. 最終的な答え

23通り