問題は以下の通りです。 25 (1) 50人から3人の代表を選ぶ方法は何通りあるか。 (2) 1枚の硬貨を10回投げるとき、表が8回だけ出る場合は何通りあるか。 26 異なる番号のついた赤玉8個, 白玉7個が入った袋から、玉を6個同時に取り出すとき、次の取り出し方は何通りあるか。 (1) 赤玉4個, 白玉2個を取り出す。 (2) 少なくとも1個は白玉を取り出す。 (3) 特定の2つの玉a, bをともに取り出す。 27 (1) 右の図に含まれる長方形は全部で何個あるか。 (2) 正十角形ABCDEFGHIJ の3つの頂点を結んで三角形を作る。 (ア) できる三角形の総数を求めよ。 (イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

25 (1) 50人から3人の代表を選ぶ方法は何通りあるか。

(2) 1枚の硬貨を10回投げるとき、表が8回だけ出る場合は何通りあるか。

26 異なる番号のついた赤玉8個, 白玉7個が入った袋から、玉を6個同時に取り出すとき、次の取り出し方は何通りあるか。

(1) 赤玉4個, 白玉2個を取り出す。

(2) 少なくとも1個は白玉を取り出す。

(3) 特定の2つの玉a, bをともに取り出す。

27 (1) 右の図に含まれる長方形は全部で何個あるか。

(2) 正十角形ABCDEFGHIJ の3つの頂点を結んで三角形を作る。

(ア) できる三角形の総数を求めよ。

(イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。

2. 解き方の手順

25 (1)

50人から3人を選ぶ組み合わせなので、順序は関係ありません。組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使用します。

${}_{50}C_3 = \frac{50!}{3!47!} = \frac{50 \times 49 \times 48}{3 \times 2 \times 1} = 50 \times 49 \times 8 = 19600$

(2)

10回中8回表が出る組み合わせなので、${}_{10}C_8$ を計算します。

${}_{10}C_8 = {}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

26 (1)

赤玉8個から4個選び、白玉7個から2個選ぶ組み合わせの積となります。

${}_8C_4 \times {}_7C_2 = \frac{8!}{4!4!} \times \frac{7!}{2!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 70 \times 21 = 1470$

(2)

少なくとも1個は白玉を取り出す場合は、全体から白玉を1つも取り出さない場合を引きます。全体の取り出し方は ${}_{15}C_6$ であり、白玉を1つも取り出さない場合は、赤玉8個から6個選ぶ ${}_8C_6$ です。

${}_{15}C_6 = \frac{15!}{6!9!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005$

${}_8C_6 = {}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

$5005 - 28 = 4977$

(3)

特定の2つの玉a,bをともに取り出す場合、残りの4個を13個の玉(a, b を除いたもの)から選びます。

${}_{13}C_4 = \frac{13!}{4!9!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13 \times 5 \times 11 = 715$

27 (1)

長方形は、縦の線2本と横の線2本で決まります。縦の線は4本から2本、横の線は5本から2本選びます。

${}_4C_2 \times {}_5C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 6 \times 10 = 60$

(2) (ア)

正十角形の頂点から3つ選んで三角形を作るので、${}_{10}C_3$ を計算します。

${}_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(イ)

正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求めます。正十角形の辺は10個あります。1つの辺に対して、残りの8個の頂点のうち1つを選べば三角形が決まります。ただし、選んだ頂点が隣の頂点の場合は2辺を共有してしまうので、その2個を除いた6個から選ぶことができます。つまり、$10 \times 6 = 60$個です。

3. 最終的な答え

25 (1) 19600通り

(2) 45通り

26 (1) 1470通り

(2) 4977通り

(3) 715通り

27 (1) 60個

(2) (ア) 120個

(イ) 60個