(1) 集合 $A = \{1, 3, 5, 6, 9, 11, 17, 19\}$ と集合 $B = \{k, 2k+1\}$ が与えられている。$A \supset B$ となるような $k$ の値を小さい順に求める。 (2) 全体集合 $U = \{x | x \text{ は } 20 \text{ 以下の正の偶数}\}$ の部分集合 $A, B$ について、$\overline{A} \cap B = \{x | x \text{ は } 4 \text{ の倍数}, x \in U\}$, $\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$, $A \cap B = \{6\}$ である。このとき、$A$ と $A \cup \overline{B}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 集合 $A = \{1, 3, 5, 6, 9, 11, 17, 19\}$ と集合 $B = \{k, 2k+1\}$ が与えられている。$A \supset B$ となるような $k$ の値を小さい順に求める。

(2) 全体集合 $U = \{x | x \text{ は } 20 \text{ 以下の正の偶数}\}$ の部分集合 $A, B$ について、$\overline{A} \cap B = \{x | x \text{ は } 4 \text{ の倍数}, x \in U\}$, $\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$, $A \cap B = \{6\}$ である。このとき、$A$ と $A \cup \overline{B}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A \supset B$ は $B \subset A$ を意味する。つまり、$k$ と $2k+1$ が両方とも $A$ の要素である必要がある。

$k = 1$ のとき、$2k+1 = 3$ であり、$1, 3 \in A$。

$k = 3$ のとき、$2k+1 = 7$ であり、$3 \in A$ だが $7 \notin A$。

$k = 5$ のとき、$2k+1 = 11$ であり、$5, 11 \in A$。

$k = 6$ のとき、$2k+1 = 13$ であり、$6 \in A$ だが $13 \notin A$。

$k = 9$ のとき、$2k+1 = 19$ であり、$9, 19 \in A$。

$k = 11$ のとき、$2k+1 = 23$ であり、$11 \in A$ だが $23 \notin A$。

$k = 17$ のとき、$2k+1 = 35$ であり、$17 \in A$ だが $35 \notin A$。

$k = 19$ のとき、$2k+1 = 39$ であり、$19 \in A$ だが $39 \notin A$。

したがって、$k = 1, 5, 9$。

(2) 全体集合 $U = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$。

$\overline{A} \cap B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$.

$A \cap B = \{6\}$.

$\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$.

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$.

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$.

$B = \{6, 4, 8, 12, 16, 20\}$.

$\overline{A} = U - A$.

$\overline{A} \cup B = (U - A) \cup B = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$.

$U - A = \{2, 4, 8, 12, 14, 16, 20\} - B = \{2, 10, 18\}$.

$A = U - \overline{A} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\} - \{2, 10, 18\} = \{4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$.

$A = \{6, 4, 8, 12, 14, 16, 20\}$の間違い。$\overline{A}\cap B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$。$A \cap B = \{6\}$。$\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$.

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{6, 4, 8, 12, 16, 20\}$. $\overline{A}\cap B = B - \{6\}$.

$\overline{A} = U - A = \{2, 10, 18\}$. $A = U - \overline{A} = \{4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$.

$\overline{B} = U - B = \{2, 10, 14, 18\}$.

$A \cup \overline{B} = \{6, 10, 14, 18\}$.

3. 最終的な答え

(1) $k$ の値は小さい順に $1, 5, 9$。

(2) $A = \{6, 4, 8, 12, 14, 16, 20\}$. $A \cup \overline{B} = \{2, 10, 18\}$.

ア: 1

イ: 5

ウ: 9

エ: 4

オカ: 6

キク: 8

ケ: 10

コサ: 14