与えられた道順の図において、以下の3つの場合の最短経路の数を求める問題です。 (1) AからBまでの最短経路の数 (2) AからCを通ってBまでの最短経路の数 (3) AからCを通らずにBまでの最短経路の数

1. 問題の内容

与えられた道順の図において、以下の3つの場合の最短経路の数を求める問題です。

(1) AからBまでの最短経路の数

(2) AからCを通ってBまでの最短経路の数

(3) AからCを通らずにBまでの最短経路の数

2. 解き方の手順

(1) AからBまでの最短経路の数

AからBまで行くには、右に5回、上に3回移動する必要があります。

したがって、8回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数、もしくは上への移動を3回選ぶ組み合わせの数が求める経路の数になります。

これは、組み合わせの公式を用いて計算できます。

$\frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(2) AからCを通ってBまでの最短経路の数

AからCまで行くには、右に2回、上に1回移動する必要があります。

CからBまで行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。

AからCまでの経路の数は $\frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通りです。

CからBまでの経路の数は $\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

したがって、AからCを通ってBまでの経路の数は、AからCまでの経路の数とCからBまでの経路の数を掛け合わせたものになります。

$3 \times 10 = 30$

(3) AからCを通らずにBまでの最短経路の数

AからBまでのすべての経路の数から、AからCを通ってBまでの経路の数を引くことで、AからCを通らずにBまでの経路の数を求めることができます。

$56 - 30 = 26$

3. 最終的な答え

(1) AからBまでの最短経路の数: 56通り

(2) AからCを通ってBまでの最短経路の数: 30通り

(3) AからCを通らずにBまでの最短経路の数: 26通り