文字列 "TAKIBI" の6文字を並べ替える問題を解きます。 (1) A, K, B の位置を TAKIBI の順で固定した並べ方の場合の数 (2) A, K, B が左からこの順になる並べ方の場合の数 (3) A と K が隣り合わない並べ方の場合の数

1. 問題の内容

文字列 "TAKIBI" の6文字を並べ替える問題を解きます。

(1) A, K, B の位置を TAKIBI の順で固定した並べ方の場合の数

(2) A, K, B が左からこの順になる並べ方の場合の数

(3) A と K が隣り合わない並べ方の場合の数

2. 解き方の手順

(1) A, K, Bの位置がTAKIBIの順で固定されている場合

A, K, B の位置はすでに決まっているので、残りの T, I, I の並べ方を考えます。

T, I, Iの3文字を並べる順列は、同じ文字が2つあるので、

$\frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3$ 通りです。

(2) A, K, B が左からこの順になるように並べる場合

6つの文字を並べる場所から A, K, B の場所を3つ選びます。選んだ場所は左から順にA, K, Bと配置します。場所の選び方は $_6C_3$ 通りあります。

残りの3つの場所にT, I, Iを並べます。T, I, Iの3文字を並べる順列は、同じ文字が2つあるので、$\frac{3!}{2!} = 3$ 通りです。

したがって、並べ方の総数は、

$_6C_3 \times \frac{3!}{2!} = \frac{6!}{3!3!} \times 3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 3 = 20 \times 3 = 60$ 通りです。

(3) A と K が隣り合わないように並べる場合

まず、すべての並べ方の総数を求めます。TAKIBIの6文字のうち、Iが2つあるので、並べ方の総数は $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ 通りです。

次に、A と K が隣り合う並べ方の総数を求めます。AとKをひとまとめにして(AKもしくはKA)１つの文字として考えます。すると全部で５つの文字を並べることになります。T,I,I,B,(AKまたはKA)の５つの文字の並べ方は、Iが2つあるので、$\frac{5!}{2!} \times 2 = \frac{120}{2} \times 2 = 120$ 通りです。(最後にAKとKAの並び方があるので、2を掛けます。)

したがって、A と K が隣り合わない並べ方は、

$360 - 120 = 240$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 3通り

(2) 60通り

(3) 240通り