3つの区別できる箱に、同じ色の玉を入れる場合の数を求める問題です。 (1) 赤玉5個を3つの箱に入れる方法の数を求めます。箱は空でもよいとします。 (2) 赤玉5個と白玉2個を3つの箱に入れる方法の数を求めます。箱は空でもよいとします。

1. 問題の内容

3つの区別できる箱に、同じ色の玉を入れる場合の数を求める問題です。

(1) 赤玉5個を3つの箱に入れる方法の数を求めます。箱は空でもよいとします。

(2) 赤玉5個と白玉2個を3つの箱に入れる方法の数を求めます。箱は空でもよいとします。

2. 解き方の手順

(1) 赤玉5個を3つの箱に入れる方法の数を求めます。

これは、5個の同じものを3つの異なる箱に入れる重複組み合わせの問題です。

重複組み合わせの公式は $H(n, k) = \binom{n+k-1}{k}$ です。ここで $n$ は箱の数、$k$ は玉の数です。

この問題では $n=3$ で $k=5$ なので、

$H(3, 5) = \binom{3+5-1}{5} = \binom{7}{5} = \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通りです。

(2) 赤玉5個と白玉2個を3つの箱に入れる方法の数を求めます。

赤玉5個の入れ方は(1)より21通りです。

白玉2個の入れ方を考えます。これも重複組み合わせの問題です。

$H(3, 2) = \binom{3+2-1}{2} = \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

したがって、赤玉と白玉を同時に入れる方法は、それぞれの入れ方の積で求められます。

$21 \times 6 = 126$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 21通り

(2) 126通り