問題7: 7人の大人と5人の子供の中から3人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方の数を求めます。 (1) 大人が2人以上選ばれる場合 (2) 少なくとも子供が1人選ばれる場合 問題8: 立方体の6つの面を、赤、青、黄、白、緑、黒の6色で塗り分ける方法の総数を求めます。ただし、回転してすべての面の色の並びが同じになる場合は同じ塗り方とみなします。 問題9: 正六角形について以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正六角形と2辺を共有する三角形の個数 (3) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正六角形と辺を共有しない三角形の個数

1. 問題の内容

問題7: 7人の大人と5人の子供の中から3人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方の数を求めます。

(1) 大人が2人以上選ばれる場合

(2) 少なくとも子供が1人選ばれる場合

問題8: 立方体の6つの面を、赤、青、黄、白、緑、黒の6色で塗り分ける方法の総数を求めます。ただし、回転してすべての面の色の並びが同じになる場合は同じ塗り方とみなします。

問題9: 正六角形について以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正六角形と2辺を共有する三角形の個数

(3) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正六角形と辺を共有しない三角形の個数

2. 解き方の手順

問題7:

(1) 大人が2人以上選ばれる場合:

大人2人、子供1人の場合と、大人3人の場合を考えます。

大人2人、子供1人の場合: 大人の選び方は $_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り、子供の選び方は $_5C_1 = 5$ 通りなので、$21 \times 5 = 105$ 通り。

大人3人の場合: 大人の選び方は $_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

したがって、合計は $105 + 35 = 140$ 通り。

(2) 少なくとも子供が1人選ばれる場合:

全体から大人だけが選ばれる場合を引きます。

全体の選び方は $_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ 通り。

大人だけが選ばれる場合は35通り(上記(1)より)。

したがって、 $220 - 35 = 185$ 通り。

問題8:

立方体の塗り分け問題。

まず、ある面を固定します。その面の色は6通り。

次に、その反対側の面の色は5通り。

残りの4つの側面は、円順列で考えると、 $(4-1)! = 3! = 6$ 通り。

したがって、$6 \times 5 \times 6 = 30$通り。

問題9:

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数:

これは $_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

(2) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正六角形と2辺を共有する三角形の個数:

正六角形の一つの辺に対して、共有する三角形は1つ存在する。辺は6つあるので、6個。

(3) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正六角形と辺を共有しない三角形の個数:

三角形の総数から、辺を2つ共有する三角形の数と、辺を1つ共有する三角形の数を引く。

辺を1つ共有する三角形は、向かい合う頂点を選べばよい。共有する辺に対して向かい合う頂点は1つなので、共有する頂点を選べば残りの1つの頂点は1通りに決まる。辺は6つなので、6通り。

求める三角形の個数 = 総数 - 2辺共有 - 1辺共有 - 辺を共有しない

20 - 6 - 6 = 2個

3. 最終的な答え

問題7:

(1) 140通り

(2) 185通り

問題8:

30通り

問題9:

(1) 20個

(2) 6個

(3) 8個