全体集合 $U = \{x | xは20以下の正の偶数\}$ の部分集合 $A, B$ について、$\overline{A} \cap B = \{x|xは4の倍数, x \in U\}$, $\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$, $A \cap B = \{6\}$ である。このとき、$A$ と $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | xは20以下の正の偶数\}$ の部分集合 $A, B$ について、$\overline{A} \cap B = \{x|xは4の倍数, x \in U\}$, $\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$, $A \cap B = \{6\}$ である。このとき、$A$ と $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$U$ を具体的に書くと、 $U = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$。

$\overline{A} \cap B$ は $A$ に含まれない $B$ の要素を表す。$\overline{A} \cap B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$ より、$B$ は少なくとも $\{4, 8, 12, 16, 20\}$ を含む。

$A \cap B = \{6\}$ より、$A$ は $6$ を含む。

$\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$ は、$A$ に含まれない要素と $B$ の要素をすべて含む。

$U$ の要素のうち、$\overline{A} \cup B$ に含まれないものは、$A$ に含まれる。

$U - (\overline{A} \cup B) = \{10, 18\}$ となるので、$A$ は少なくとも $\{10, 18\}$ を含む。

また、$A \cap B = \{6\}$なので、$B$は$10, 18$を含まない。

$B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A}) = \{6\} \cup \{4, 8, 12, 16, 20\} = \{4, 6, 8, 12, 16, 20\}$

$\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$ より、$A$ に含まれない要素は $\{2, 14\}$。

したがって、$A = U - \{2, 14\} = \{4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20\}$。

これは $A \cap B = \{6\}$ に矛盾する。

$A = \{6, 10, 18\}$ を含む必要がある。$\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20\}$

$B = \{4, 6, 8, 12, 16, 20\}$

$A = \{6, 10, 14, 18\}$

次に $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。

$\overline{A} = \{2, 4, 8, 12, 16, 20\}$, $\overline{B} = \{2, 10, 14, 18\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$

$A = \{6, 10, 14, 18\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$

3. 最終的な答え

$A = \{6, 10, 14, 18\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$