全体集合 $U$ は10より小さい自然数の集合、つまり $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ です。 集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, $B = \{2, 3, 5, 7\}$, $C = \{7, 8, 9\}$ が与えられています。 (1) $A \cap B$, $A \cap \overline{B}$, $A \cup \overline{C}$, $A \cap B \cap C$, $A \cup B \cup C$, $A \cap B \cap \overline{C}$ を求めます。 (2) $\overline{B} \cap C$ と $\overline{B \cup C}$ に等しいものを選択肢から選びます。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ は10より小さい自然数の集合、つまり $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ です。

集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, $B = \{2, 3, 5, 7\}$, $C = \{7, 8, 9\}$ が与えられています。

(1) $A \cap B$, $A \cap \overline{B}$, $A \cup \overline{C}$, $A \cap B \cap C$, $A \cup B \cup C$, $A \cap B \cap \overline{C}$ を求めます。

(2) $\overline{B} \cap C$ と $\overline{B \cup C}$ に等しいものを選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

(1)

* $A \cap B$: $A$ と $B$ の共通部分なので、$\{3, 5, 7\}$ (選択肢 0 と 5 の要素が含まれる)

* $\overline{B}$: $U$ から $B$ の要素を除いたものなので、$\overline{B} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$。 $A \cap \overline{B}$: $A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$\{1, 9\}$ (選択肢 4)

* $\overline{C}$: $U$ から $C$ の要素を除いたものなので、$\overline{C} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。 $A \cup \overline{C}$: $A$ と $\overline{C}$ の和集合なので、$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ (選択肢 1)

* $A \cap B \cap C$: $A$, $B$, $C$ 全ての共通部分なので、$\{7\}$ (選択肢 2)

* $A \cup B \cup C$: $A$, $B$, $C$ 全ての和集合なので、$\{1, 2, 3, 5, 7, 8, 9\}$ (選択肢 6)

* $A \cap B \cap \overline{C}$: $A \cap B = \{3, 5, 7\}$ と $\overline{C} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の共通部分なので、$\{3, 5\}$ (選択肢 0)

(2)

* $\overline{B} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$。 $\overline{B} \cap C$: $\overline{B}$ と $C$ の共通部分なので、$\{8, 9\}$。選択肢に該当するものはない。選択肢を一つ一つ確認する。

* 0: $\overline{B \cap C} = \overline{\{7\}} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$。

* 1: $B \cup \overline{C} = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$。

* 2: $\overline{B \cup C} = \overline{\{2, 3, 5, 7, 8, 9\}} = \{1, 4, 6\}$

* 3: $B \cup C = \{2, 3, 5, 7, 8, 9\}$

* 4: $\overline{B \cup C} = \{1, 4, 6\}$

* 5: $\overline{B} \cap \overline{C} = \{1, 4, 6, 8, 9\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{1, 4, 6\}$

$\overline{B} \cap C = \{8, 9\}$に一致する選択肢はない。問題文のミスである可能性が高い。最も近いものは$\overline{B \cup C} = \{1,4,6\}$. ド・モルガンの法則から$\overline{B \cup C} = \overline{B} \cap \overline{C}$. よって，$\overline{B \cup C}$の候補は４，５.

* $\overline{B \cup C}$: ド・モルガンの法則より、$\overline{B \cup C} = \overline{B} \cap \overline{C}$。 $\overline{B} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$, $\overline{C} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ なので、$\overline{B \cup C} = \overline{B} \cap \overline{C} = \{1, 4, 6\}$ (選択肢 4)

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 4

ウ: 1

エ: 2

オ: 6

カ: 0

キ: 答えなし

ク: 4