"DEFENSE"の7文字から4文字を取り出すときの、次の組合せと並べ方の総数を求めます。 (1) Eを3つ含む場合 (2) Eを2つだけ含む場合 (3) 4文字とも異なる場合 (4) すべての場合

1. 問題の内容

"DEFENSE"の7文字から4文字を取り出すときの、次の組合せと並べ方の総数を求めます。

(1) Eを3つ含む場合

(2) Eを2つだけ含む場合

(3) 4文字とも異なる場合

(4) すべての場合

2. 解き方の手順

(1) Eを3つ含む場合

DEFENSEのEは3つあります。残り1文字を選ぶ必要があります。E以外の文字はD, F, N, Sの4種類です。

したがって、残り1文字の選び方は4通りです。

4文字の並べ方は $\frac{4!}{3!} = 4$通りです。

よって、合計 $4 \times 4 = 16$通りです。

(2) Eを2つだけ含む場合

まずEを2つ選びます。これは1通りです。

次に、残りの2文字をE以外のD, F, N, Sから選びます。

選び方は ${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

4文字の並べ方は $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$通りです。

よって、合計 $6 \times 12 = 72$通りです。

(3) 4文字とも異なる場合

D, E, F, N, Sの5種類の文字から4つを選びます。

選び方は ${}_5 C_4 = 5$通りです。

4文字の並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通りです。

よって、合計 $5 \times 24 = 120$通りです。

(4) すべての場合

7文字から4文字を選ぶので、同じ文字が含まれる場合も考えます。

(i) Eを3つ含む場合：(1)で求めたように16通り

(ii) Eを2つ含む場合：(2)で求めたように72通り

(iii) Eを1つ含む場合：

Eを1つ選び、残り3文字をE以外のD, F, N, Sから選びます。

3文字とも異なる場合は ${}_4 C_3 \times 4! = 4 \times 24 = 96$通り

2文字が同じ場合は ${}_4 C_1 \times {}_3 C_1 \times \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 \times 12 = 144$通り (D, F, N, Sの中から1つ選び、残りの3つから1つ選び、並べる)

3文字が同じ場合はありえません。

(iv) Eを含まない場合

D, F, N, Sから4文字を選びます。これは1通りしかありません。

並べ方は$4! = 24$通り

(v) Eを1つ含む場合:

${}_4 C_1 \times 4! / 1! + {}_4 C_1 \times {}_3 C_1 \times 4!/2! +{}_4 C_3 4!$

あるいは重複組合せの考え方を用います。

D, E, F, N, S の5種類の文字から重複を許して4つ選ぶ組み合わせを考えます。

これは ${}_5 H_4 = {}_{5+4-1}C_4 = {}_8 C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$通りです。

次に、それぞれの組合せに対する順列の数を考えます。

例えば、全て異なる場合は $4! = 24$通りです。2つ同じ文字がある場合は $\frac{4!}{2!} = 12$通りです。3つ同じ文字がある場合は $\frac{4!}{3!} = 4$通りです。4つ同じ文字がある場合は $1$通りです。

全ての場合の総数を計算するには、これらのパターンを全て考慮する必要があります。

しかし、ここでは別の解き方をします。

すべての組み合わせは以下のように考えます。

(i) 同じ文字がない場合 ${}_5C_4 \times 4! = 5 \times 24 = 120$

(ii) 同じ文字が2つある場合 ${}_3 C_1 \times {}_4 C_2 = {4!/2!}$

${}_4 C_1 \times {}_3 C_1 \times 4! /2!$

(iii) 同じ文字が3つある場合

Eを3つと他の１つ $16$

$\sum = 120 + 72 + 16 + 24 = 232$

3. 最終的な答え

(1) 16通り

(2) 72通り

(3) 120通り

(4) 計算が複雑になるため、概算ですが、232通り 정도 입니다.