全体集合$U$を10より小さい自然数全体の集合、$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、$B = \{2, 3, 5, 7\}$、$C = \{7, 8, 9\}$とするとき、以下の集合を求め、解答群から選ぶ。 (1) $A \cap B$、 $A \cap \bar{B}$、 $A \cup \bar{C}$、 $A \cap B \cap C$、 $A \cup B \cup C$、 $A \cap B \cap \bar{C}$ (2) $B \cap \bar{C}$と等しいもの、$\bar{B} \cup C$と等しいもの

1. 問題の内容

全体集合$U$を10より小さい自然数全体の集合、$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、$B = \{2, 3, 5, 7\}$、$C = \{7, 8, 9\}$とするとき、以下の集合を求め、解答群から選ぶ。

(1) $A \cap B$、 $A \cap \bar{B}$、 $A \cup \bar{C}$、 $A \cap B \cap C$、 $A \cup B \cup C$、 $A \cap B \cap \bar{C}$

(2) $B \cap \bar{C}$と等しいもの、$\bar{B} \cup C$と等しいもの

2. 解き方の手順

(1)

* $A \cap B$：$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合。$A \cap B = \{3, 5, 7\}$

* $A \cap \bar{B}$：$A$に含まれ、$B$に含まれない要素の集合。$\bar{B} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$なので、$A \cap \bar{B} = \{1, 9\}$

* $A \cup \bar{C}$：$A$または$\bar{C}$に含まれる要素の集合。$\bar{C} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$なので、$A \cup \bar{C} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

* $A \cap B \cap C$：$A$, $B$, $C$全てに含まれる要素の集合。$A \cap B \cap C = \{7\}$

* $A \cup B \cup C$：$A$, $B$, $C$のいずれかに含まれる要素の集合。$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 9\}$

* $A \cap B \cap \bar{C}$：$A$と$B$に含まれ、$C$に含まれない要素の集合。$\bar{C} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$なので、$A \cap B \cap \bar{C} = \{3, 5\}$

(2)

* $B \cap \bar{C}$：$B$に含まれ、$C$に含まれない要素の集合。$\bar{C} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$なので、$B \cap \bar{C} = \{2, 3, 5\}$。選択肢を確認すると、$\bar{B} \cap C$に等しい。$\bar{B} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$なので、$\bar{B} \cup C = \{1, 4, 6, 7, 8, 9\}$。

* $\bar{B} \cup C$：$\bar{B}$または$C$に含まれる要素の集合。$B = \{2, 3, 5, 7\}$なので$\bar{B} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$。よって$\bar{B} \cup C = \{1, 4, 6, 7, 8, 9\}$。選択肢を確認すると、$\bar{B} \cup C = \{1, 4, 6, 7, 8, 9\}$なので、$\bar{B} \cup C$は与えられた選択肢の中に存在しないので計算をやり直します。

$\bar{B} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$なので、$\bar{B} \cup C = \{1, 4, 6, 7, 8, 9\}$。

与えられた集合$U$から集合$B$の補集合は$\bar{B}=\{1,4,6,8,9\}$.

$\bar{B}\cup C = \{1,4,6,8,9\} \cup \{7,8,9\} = \{1,4,6,7,8,9\}$

3. 最終的な答え

(1)

ア: (0) {3, 5, 7}

イ: (4) {1, 9}

ウ: (1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

エ: (2) {7}

オ: (6) {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}

カ: (0) {3, 5}

(2)

キ: (5) $\bar{B} \cap C$

ク: (3) $\bar{B} \cup C$