全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、$n(U) = 50$, $n(A) = 36$, $n(B) = 27$である。$n(A \cap B)$のとりうる値の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、$n(U) = 50$, $n(A) = 36$, $n(B) = 27$である。$n(A \cap B)$のとりうる値の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

$n(A \cap B)$が最大となるのは、$B \subset A$のときである。このとき、$n(A \cap B) = n(B) = 27$となる。

一方、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$である。また、$A \cup B \subset U$であるから、$n(A \cup B) \leq n(U)$である。

したがって、$n(A) + n(B) - n(A \cap B) \leq n(U)$より、$36 + 27 - n(A \cap B) \leq 50$となる。

これを整理すると、$63 - n(A \cap B) \leq 50$より、$n(A \cap B) \geq 13$となる。

したがって、$n(A \cap B)$の最小値は$13$である。

3. 最終的な答え

最大値：27

最小値：13