与えられた4つの2次式を因数分解します。これらの式は、通常の因数分解では難しいので、解の公式を用いて因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた4つの2次式を因数分解します。これらの式は、通常の因数分解では難しいので、解の公式を用いて因数分解します。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x + 2$

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いる。

$a=1$, $b=-4$, $c=2$ なので、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

したがって、因数分解すると、$(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2}))$

(2) $x^2 - 5x + 7$

解の公式を用いる。

$a=1$, $b=-5$, $c=7$ なので、

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 28}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{5 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、因数分解すると、$(x - (\frac{5 + i\sqrt{3}}{2}))(x - (\frac{5 - i\sqrt{3}}{2}))$

(3) $2x^2 + 2x + 3$

解の公式を用いる。

$a=2$, $b=2$, $c=3$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 24}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{-20}}{4} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{5}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{5}}{2}$

したがって、因数分解すると、$2(x - (\frac{-1 + i\sqrt{5}}{2}))(x - (\frac{-1 - i\sqrt{5}}{2}))$

(4) $4x^2 - 4x - 1$

解の公式を用いる。

$a=4$, $b=-4$, $c=-1$ なので、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

したがって、因数分解すると、$4(x - (\frac{1 + \sqrt{2}}{2}))(x - (\frac{1 - \sqrt{2}}{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2}))$

(2) $(x - (\frac{5 + i\sqrt{3}}{2}))(x - (\frac{5 - i\sqrt{3}}{2}))$

(3) $2(x - (\frac{-1 + i\sqrt{5}}{2}))(x - (\frac{-1 - i\sqrt{5}}{2}))$

(4) $4(x - (\frac{1 + \sqrt{2}}{2}))(x - (\frac{1 - \sqrt{2}}{2}))$