以下の4つの3次式を因数分解してください。 (1) $x^3+4x^2+x-6$ (2) $x^3-13x-12$ (3) $x^3+x^2-8x-12$ (4) $2x^3+x^2-13x+6$

はい、承知いたしました。因数定理を用いて、与えられた式を因数分解します。

1. 問題の内容

以下の4つの3次式を因数分解してください。

(1) $x^3+4x^2+x-6$

(2) $x^3-13x-12$

(3) $x^3+x^2-8x-12$

(4) $2x^3+x^2-13x+6$

2. 解き方の手順

因数定理とは、$P(a) = 0$ならば、$P(x)$は$(x-a)$を因数に持つという定理です。 各多項式に対して、まず$P(a) = 0$となるような$a$を見つけます。$a$の候補としては定数項の約数などが考えられます。その後、組み立て除法などで割り算を行い、残りの因数を求めます。

(1) $x^3+4x^2+x-6$

$P(1) = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$なので、$x-1$を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

```

1 | 1 4 1 -6

| 1 5 6

| 1 5 6 0

```

したがって、$x^3+4x^2+x-6 = (x-1)(x^2+5x+6) = (x-1)(x+2)(x+3)$

(2) $x^3-13x-12$

$P(-1) = -1 + 13 - 12 = 0$なので、$x+1$を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

```

-1 | 1 0 -13 -12

| -1 1 12

| 1 -1 -12 0

```

したがって、$x^3-13x-12 = (x+1)(x^2-x-12) = (x+1)(x-4)(x+3)$

(3) $x^3+x^2-8x-12$

$P(-2) = -8 + 4 + 16 - 12 = 0$なので、$x+2$を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

```

-2 | 1 1 -8 -12

| -2 2 12

| 1 -1 -6 0

```

したがって、$x^3+x^2-8x-12 = (x+2)(x^2-x-6) = (x+2)(x-3)(x+2) = (x+2)^2(x-3)$

(4) $2x^3+x^2-13x+6$

$P(2) = 16 + 4 - 26 + 6 = 0$なので、$x-2$を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

```

2 | 2 1 -13 6

| 4 10 -6

| 2 5 -3 0

```

したがって、$2x^3+x^2-13x+6 = (x-2)(2x^2+5x-3) = (x-2)(2x-1)(x+3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x+2)(x+3)$

(2) $(x+1)(x-4)(x+3)$

(3) $(x+2)^2(x-3)$

(4) $(x-2)(2x-1)(x+3)$