2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 2 = 0$ が異なる2つの正の実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 2 = 0$ が異なる2つの正の実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ である。

また、2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$, $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ である。

2つの解が正である条件は、$\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ である。

与えられた2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 2 = 0$ について、

判別式 $D$ は、

$D = (2m)^2 - 4(1)(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2) = 4(m - 2)(m + 1)$

$D > 0$ より、$(m - 2)(m + 1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 2$ ...(1)

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2m$

$\alpha \beta = m + 2$

2つの解が正であるためには、

$\alpha + \beta > 0$ より、$-2m > 0$ よって $m < 0$ ...(2)

$\alpha \beta > 0$ より、$m + 2 > 0$ よって $m > -2$ ...(3)

(1), (2), (3) をすべて満たす $m$ の範囲を求める。

(1) より $m < -1$ または $m > 2$

(2) より $m < 0$

(3) より $m > -2$

よって、$-2 < m < -1$

3. 最終的な答え

$-2 < m < -1$