問題10は、A=$xy + \sqrt{2}x - 3y - 3\sqrt{2}$という式が与えられており、$x$と$y$は実数である。 (1) $y = 0$のとき、$A = 0$を満たす$x$の値を求める。 (2) $y = -2$のとき、$A < 1$を満たす$x$の値の範囲を求める。 (3) $x = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$, $y = \sqrt{6}$のとき、$A^2$の値を求める。

1. 問題の内容

問題10は、A=$xy + \sqrt{2}x - 3y - 3\sqrt{2}$という式が与えられており、$x$と$y$は実数である。

(1) $y = 0$のとき、$A = 0$を満たす$x$の値を求める。

(2) $y = -2$のとき、$A < 1$を満たす$x$の値の範囲を求める。

(3) $x = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$, $y = \sqrt{6}$のとき、$A^2$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = 0$のとき、$A = x \cdot 0 + \sqrt{2}x - 3 \cdot 0 - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}x - 3\sqrt{2} = 0$となる。

$\sqrt{2}x = 3\sqrt{2}$より、$x = 3$。

(2) $y = -2$のとき、$A = x(-2) + \sqrt{2}x - 3(-2) - 3\sqrt{2} = -2x + \sqrt{2}x + 6 - 3\sqrt{2} < 1$となる。

$(-2 + \sqrt{2})x < -5 + 3\sqrt{2}$

$x > \frac{-5 + 3\sqrt{2}}{-2 + \sqrt{2}}$ (∵ $-2 + \sqrt{2} < 0$)

$x > \frac{(-5 + 3\sqrt{2})(-2 - \sqrt{2})}{(-2 + \sqrt{2})(-2 - \sqrt{2})} = \frac{10 + 5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} - 6}{4 - 2} = \frac{4 - \sqrt{2}}{2} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $x = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$, $y = \sqrt{6}$のとき、$A = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2} - 3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}$となる。

$A = \frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{6} - 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{6} - 3\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{6} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2} - 3\sqrt{6} - 3\sqrt{2} = -2\sqrt{2} - 3\sqrt{6}$

$A^2 = (-2\sqrt{2} - 3\sqrt{6})^2 = (2\sqrt{2} + 3\sqrt{6})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{6} + (3\sqrt{6})^2 = 8 + 12\sqrt{12} + 54 = 62 + 12 \cdot 2\sqrt{3} = 62 + 24\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$

(2) $x > 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $A^2 = 62 + 24\sqrt{3}$