与えられた対数の積 $\log_{3}5 \cdot \log_{5}27$ を計算し、その値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた対数の積 $\log_{3}5 \cdot \log_{5}27$ を計算し、その値を求めます。

2. 解き方の手順

底の変換公式を利用して、対数の底を統一します。底の変換公式は以下の通りです。

$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

まず、$\log_{3}5$を底が10の対数に変換します。

$\log_{3}5 = \frac{\log 5}{\log 3}$

次に、$\log_{5}27$も底が10の対数に変換します。

$\log_{5}27 = \frac{\log 27}{\log 5}$

ここで、$27 = 3^3$ なので、$\log 27 = \log 3^3 = 3 \log 3$ となります。

$\log_{5}27 = \frac{3\log 3}{\log 5}$

したがって、

$\log_{3}5 \cdot \log_{5}27 = \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{3 \log 3}{\log 5}$

$\log 5$ と $\log 3$ が約分できるので、

$\log_{3}5 \cdot \log_{5}27 = 3$

3. 最終的な答え

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