フィボナッチ数列$\{F_n\}$が$F_{k+2} = F_k + F_{k+1}$, $F_1=1$, $F_2=1$で定義されるとき、以下の問いに答える。 (1) $A_n = F_{n+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_n$で定義される数列$\{A_n\}$について、漸化式$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$が成り立つことを示す。 (2) 数列$\{A_n\}$の一般項を求める。 (3) $B_n = F_{n+1} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_n$で定義される数列$\{B_n\}$について、漸化式$B_{k+1} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}B_k$が成り立つことを示す。 (4) 数列$\{B_n\}$の一般項を求める。 (5) (2)と(4)の結果を用いてフィボナッチ数列$\{F_n\}$の一般項を求める。

1. 問題の内容

フィボナッチ数列$\{F_n\}$が$F_{k+2} = F_k + F_{k+1}$, $F_1=1$, $F_2=1$で定義されるとき、以下の問いに答える。

(1) $A_n = F_{n+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_n$で定義される数列$\{A_n\}$について、漸化式$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$が成り立つことを示す。

(2) 数列$\{A_n\}$の一般項を求める。

(3) $B_n = F_{n+1} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_n$で定義される数列$\{B_n\}$について、漸化式$B_{k+1} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}B_k$が成り立つことを示す。

(4) 数列$\{B_n\}$の一般項を求める。

(5) (2)と(4)の結果を用いてフィボナッチ数列$\{F_n\}$の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$A_{k+1} = F_{k+2} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_{k+1}$

$A_{k+1} = F_{k} + F_{k+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_{k+1}$

$A_{k+1} = F_{k} + \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_{k+1}$

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}(F_{k+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_k)$

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_{k+1} - \frac{1-5}{4}F_k$

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_{k+1} + F_k$

したがって、$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$

(2)

$\{A_n\}$は公比$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$の等比数列。

$A_1 = F_2 - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_1 = 1 - \frac{1-\sqrt{5}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$A_n = A_1 \cdot (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$

(3)

$B_{k+1} = F_{k+2} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_{k+1}$

$B_{k+1} = F_{k} + F_{k+1} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_{k+1}$

$B_{k+1} = F_{k} + \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_{k+1}$

$\frac{1-\sqrt{5}}{2}B_k = \frac{1-\sqrt{5}}{2}(F_{k+1} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_k)$

$\frac{1-\sqrt{5}}{2}B_k = \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_{k+1} - \frac{1-5}{4}F_k$

$\frac{1-\sqrt{5}}{2}B_k = \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_{k+1} + F_k$

したがって、$B_{k+1} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}B_k$

(4)

$\{B_n\}$は公比$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$の等比数列。

$B_1 = F_2 - \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_1 = 1 - \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$

$B_n = B_1 \cdot (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1} = (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$

(5)

$A_n = F_{n+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_n = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$

$B_n = F_{n+1} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_n = (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$

$A_n - B_n = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n = \sqrt{5}F_n$

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$

3. 最終的な答え

(1) $A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$

(2) $A_n = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$

(3) $B_{k+1} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}B_k$

(4) $B_n = (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$

(5) $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$