数列$\{A_n\}$が$A_n = F_{n+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_n$で定義されているとき、次の問いに答えます。 (1) 漸化式$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} A_k$が成り立つことを示します。 (2) 数列$\{A_n\}$の一般項を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

数列$\{A_n\}$が$A_n = F_{n+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_n$で定義されているとき、次の問いに答えます。

(1) 漸化式$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} A_k$が成り立つことを示します。

(2) 数列$\{A_n\}$の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} A_k$を示す

$A_n = F_{n+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_n$の定義より、

$A_{k+1} = F_{k+2} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_{k+1}$です。

フィボナッチ数列の性質$F_{k+2} = F_{k+1} + F_k$より、

$A_{k+1} = F_{k+1} + F_k - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_{k+1} + F_k$

ここで、$F_{k+1} = A_k + \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_k$なので、

$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \left( A_k + \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_k \right) + F_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k + \frac{1-5}{4}F_k + F_k$

$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k - F_k + F_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$

よって、$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$が成り立ちます。

(2) 数列$\{A_n\}$の一般項を求めます。

(1)より、数列$\{A_n\}$は公比$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$の等比数列です。

初項$A_1$は、$A_1 = F_2 - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_1 = 1 - \frac{1-\sqrt{5}}{2} \cdot 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$です。

したがって、一般項は$A_n = \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n$となります。

3. 最終的な答え

(1) $A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$が成り立つ。

(2) $A_n = \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n$