## 回答

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1. 問題の内容

この問題は、以下の3つの計算問題を含んでいます。

1. $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$ を計算する。

2. $(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2$ を計算する。

3. $(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})$ を計算する。

4. $\frac{3}{\sqrt{5}}$の分母を有理化する。

5. $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$の分母を有理化する。

6. $\frac{2\sqrt{2}}{3 - \sqrt{5}}$の分母を有理化する。

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2. 解き方の手順

**53 (1) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$ の計算**

1. 二項の平方の公式 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使用します。

2. $a = \sqrt{5}$、 $b = \sqrt{2}$ を代入すると、

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2$

3. 各項を計算します。

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) = 2\sqrt{10}$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

4. 結果をまとめます。

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

**53 (3) $(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2$ の計算**

1. 二項の平方の公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使用します。

2. $a = \sqrt{6}$、 $b = \sqrt{3}$ を代入すると、

$(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2(\sqrt{6})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2$

3. 各項を計算します。

$(\sqrt{6})^2 = 6$

$2(\sqrt{6})(\sqrt{3}) = 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \times 2} = 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

4. 結果をまとめます。

$(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = 6 - 6\sqrt{2} + 3 = 9 - 6\sqrt{2}$

**53 (5) $(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})$ の計算**

1. 和と差の積の公式 $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ を使用します。

2. $a = 4$、$b = \sqrt{3}$ を代入すると、

$(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2$

3. 各項を計算します。

$4^2 = 16$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

4. 結果をまとめます。

$(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 16 - 3 = 13$

**54 (1) $\frac{3}{\sqrt{5}}$の分母の有理化**

1. 分母の $\sqrt{5}$ を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}$

2. 計算します。

$\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

**55 (1) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$の分母の有理化**

1. 分母の $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を掛けます。（分母の共役な式を掛けます）

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \times (\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

2. 分母を展開します。（和と差の積の公式）

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

3. 分子と分母をまとめます。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

**55 (4) $\frac{2\sqrt{2}}{3 - \sqrt{5}}$の分母の有理化**

1. 分母の $3 - \sqrt{5}$ を有理化するために、分子と分母に $3 + \sqrt{5}$ を掛けます。（分母の共役な式を掛けます）

$\frac{2\sqrt{2}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2} \times (3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5}) \times (3 + \sqrt{5})}$

2. 分母を展開します。（和と差の積の公式）

$(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

3. 分子を展開します。

$2\sqrt{2}(3 + \sqrt{5}) = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{10}$

4. 分子と分母をまとめます。

$\frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{10}}{4}$

5. 約分します。

$\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

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3. 最終的な答え

53 (1) $7 + 2\sqrt{10}$

53 (3) $9 - 6\sqrt{2}$

53 (5) $13$

54 (1) $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

55 (1) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

55 (4) $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$