問題は2つあり、それぞれ以下の通りです。 (1) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ を計算する。 (2) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5})$ を計算する。

1. 問題の内容

問題は2つあり、それぞれ以下の通りです。

(1) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ を計算する。

(2) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5})$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ の展開

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})$

$= (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\sqrt{5} + 2\sqrt{3}\sqrt{5}$

$= 2 + 3 + 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

$= 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

(2) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5})$ の計算

まず、$(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})$ を計算する。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}) = (\sqrt{2} + (\sqrt{3} - \sqrt{5}))(\sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{5}))$

$= (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$

$= 2 - (3 - 2\sqrt{15} + 5)$

$= 2 - (8 - 2\sqrt{15})$

$= -6 + 2\sqrt{15}$

次に、$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5})$ を計算する。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}) = (\sqrt{2} + (\sqrt{3} + \sqrt{5}))(\sqrt{2} - (\sqrt{3} + \sqrt{5}))$

$= (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2$

$= 2 - (3 + 2\sqrt{15} + 5)$

$= 2 - (8 + 2\sqrt{15})$

$= -6 - 2\sqrt{15}$

最後に、$(-6 + 2\sqrt{15})(-6 - 2\sqrt{15})$ を計算する。

$(-6 + 2\sqrt{15})(-6 - 2\sqrt{15}) = (-6)^2 - (2\sqrt{15})^2$

$= 36 - 4 \times 15$

$= 36 - 60$

$= -24$

3. 最終的な答え

(1) $10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

(2) $-24$