与えられた $x, y$ の方程式 $kx^2 - (k+1)x - 2(k-1)y + 2k - 5 = 0 \cdots ①$ について、以下の問いに答えます。 (1) ①が直線を表すときの $k$ の値と、そのときの方程式を求めます (ただし、$k \ne 1$ )。 (2) ①が放物線を表し、直線 $y = 2$ に接するような $k$ の値を求めます。 (3) ①のグラフが実数 $k$ のどんな値に対しても定点を通ることを示し、その定点の座標を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた $x, y$ の方程式

$kx^2 - (k+1)x - 2(k-1)y + 2k - 5 = 0 \cdots ①$

について、以下の問いに答えます。

(1) ①が直線を表すときの $k$ の値と、そのときの方程式を求めます (ただし、$k \ne 1$ )。

(2) ①が放物線を表し、直線 $y = 2$ に接するような $k$ の値を求めます。

(3) ①のグラフが実数 $k$ のどんな値に対しても定点を通ることを示し、その定点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ①が直線を表す条件は、$x^2$ の係数が 0 となることです。したがって、$k = 0$ のときを考えます。

$k = 0$ を①に代入すると、

$-(0+1)x - 2(0-1)y + 2(0) - 5 = 0$

$-x + 2y - 5 = 0$

$x - 2y + 5 = 0$

これが直線の方程式です。

(2) ①が放物線を表す条件は、$x^2$ の係数 $k$ が 0 でないことです。したがって、$k \ne 0$ です。

①を $y$ について解くと、

$2(k-1)y = kx^2 - (k+1)x + 2k - 5$

$y = \frac{kx^2 - (k+1)x + 2k - 5}{2(k-1)}$

これが放物線を表します。ただし、$k \ne 1$ です。

この放物線が直線 $y = 2$ に接するということは、

$\frac{kx^2 - (k+1)x + 2k - 5}{2(k-1)} = 2$

$kx^2 - (k+1)x + 2k - 5 = 4(k-1)$

$kx^2 - (k+1)x - 2k - 1 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件を考えます。判別式 $D = 0$ となる $k$ を求めます。

$D = (k+1)^2 - 4k(-2k-1) = k^2 + 2k + 1 + 8k^2 + 4k = 9k^2 + 6k + 1 = (3k+1)^2$

$D = 0$ となるのは $3k + 1 = 0$、すなわち $k = -\frac{1}{3}$ のときです。

(3) ①を $k$ について整理します。

$kx^2 - (k+1)x - 2(k-1)y + 2k - 5 = 0$

$k(x^2 - x - 2y + 2) - x + 2y - 5 = 0$

これが任意の $k$ に対して成り立つためには、

$x^2 - x - 2y + 2 = 0$

$-x + 2y - 5 = 0$

の連立方程式を満たす必要があります。

2番目の式から $x = 2y - 5$ を得て、これを1番目の式に代入します。

$(2y-5)^2 - (2y-5) - 2y + 2 = 0$

$4y^2 - 20y + 25 - 2y + 5 - 2y + 2 = 0$

$4y^2 - 24y + 32 = 0$

$y^2 - 6y + 8 = 0$

$(y-2)(y-4) = 0$

$y = 2, 4$

$y = 2$ のとき $x = 2(2) - 5 = -1$

$y = 4$ のとき $x = 2(4) - 5 = 3$

したがって、定点の座標は $(-1, 2)$ と $(3, 4)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $k = 0$, 方程式: $x - 2y + 5 = 0$

(2) $k = -\frac{1}{3}$

(3) 定点の座標: $(-1, 2)$, $(3, 4)$