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問題は以下の3つの部分から構成されています。 (1) $A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$ の分母を有理化し、簡単にすること。 (2) $B = 3 - \sqrt{5}$ の整数部分と小数部分をそれぞれ求めること。 (3) $B$の小数部分を$p$, $AB$の小数部分を$q$とするとき、$2pq + 4p + q + 2$の値を求めること。

代数学分母の有理化平方根整数部分小数部分式の計算
2025/6/26

1. 問題の内容

問題は以下の3つの部分から構成されています。
(1) A=45−1A = \frac{4}{\sqrt{5}-1} の分母を有理化し、簡単にすること。
(2) B=3−5B = 3 - \sqrt{5} の整数部分と小数部分をそれぞれ求めること。
(3) BBの小数部分をpp, ABABの小数部分をqqとするとき、2pq+4p+q+22pq + 4p + q + 2の値を求めること。

2. 解き方の手順

(1) AAの分母の有理化
分母と分子に5+1\sqrt{5} + 1をかけます。
A=45−1=4(5+1)(5−1)(5+1)=4(5+1)5−1=4(5+1)4=5+1A = \frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1
(2) BBの整数部分と小数部分
5\sqrt{5}は約2.236であるため、B=3−5≈3−2.236=0.764B = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.236 = 0.764です。
したがって、BBの整数部分は0です。
BBの小数部分ppは、BBそのものです。よって、p=3−5p = 3 - \sqrt{5}です。
(3) 2pq+4p+q+22pq + 4p + q + 2 の値を求める
まず、ABABを計算します。
AB=(5+1)(3−5)=35−5+3−5=25−2≈2(2.236)−2=4.472−2=2.472AB = (\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5}) = 3\sqrt{5} - 5 + 3 - \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 2 \approx 2(2.236) - 2 = 4.472 - 2 = 2.472
ABABの整数部分は2なので、小数部分qqはAB−2=25−2−2=25−4AB - 2 = 2\sqrt{5} - 2 - 2 = 2\sqrt{5} - 4です。
p=3−5p = 3 - \sqrt{5}、q=25−4q = 2\sqrt{5} - 4を2pq+4p+q+22pq + 4p + q + 2に代入します。
\begin{align*} 2pq + 4p + q + 2 &= 2(3 - \sqrt{5})(2\sqrt{5} - 4) + 4(3 - \sqrt{5}) + (2\sqrt{5} - 4) + 2 \\ &= 2(6\sqrt{5} - 12 - 10 + 4\sqrt{5}) + 12 - 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 4 + 2 \\ &= 2(10\sqrt{5} - 22) + 10 - 2\sqrt{5} \\ &= 20\sqrt{5} - 44 + 10 - 2\sqrt{5} \\ &= 18\sqrt{5} - 34 \end{align*}
写真に写っている答えを確認します。
(1) 5+1\sqrt{5}+1
(2) 整数部分：2、小数部分：5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2}
改めて、B=3−5B=3-\sqrt{5}の整数部分と小数部分を求めます。
2<5<32 < \sqrt{5} < 3なので、−3<−5<−2-3 < -\sqrt{5} < -2
3−3<3−5<3−23-3 < 3-\sqrt{5} < 3-2
0<3−5<10 < 3-\sqrt{5} < 1
したがって、BBの整数部分は0、小数部分はp=3−5p=3-\sqrt{5}です。
A=5+1A=\sqrt{5}+1, B=3−5B=3-\sqrt{5}なので、AB=(5+1)(3−5)=35−5+3−5=25−2AB=(\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5})=3\sqrt{5}-5+3-\sqrt{5}=2\sqrt{5}-2.
2<5<32 < \sqrt{5} < 3なので、4<25<64 < 2\sqrt{5} < 6
2<25−2<42 < 2\sqrt{5}-2 < 4
したがって、ABABの整数部分は2, 小数部分 q=(25−2)−2=25−4q=(2\sqrt{5}-2) - 2 = 2\sqrt{5}-4.
p=3−5p=3-\sqrt{5}, q=25−4q=2\sqrt{5}-4
2pq+4p+q+2=2(3−5)(25−4)+4(3−5)+(25−4)+22pq + 4p + q + 2 = 2(3-\sqrt{5})(2\sqrt{5}-4)+4(3-\sqrt{5})+(2\sqrt{5}-4)+2
=2(65−12−10+45)+12−45+25−4+2=2(6\sqrt{5}-12-10+4\sqrt{5})+12-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}-4+2
=2(105−22)+10−25=205−44+10−25=185−34=2(10\sqrt{5}-22)+10-2\sqrt{5} = 20\sqrt{5}-44+10-2\sqrt{5} = 18\sqrt{5}-34

3. 最終的な答え

A=5+1A = \sqrt{5}+1
BBの整数部分は0、小数部分は3−53-\sqrt{5}
2pq+4p+q+2=185−342pq + 4p + q + 2 = 18\sqrt{5} - 34

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