ある商品の売価が600円のとき500個売れる。売価を10円ずつ値上げするごとに、売り上げは5個ずつ減っていく。最大の売り上げ金額を得るための売価を求める。

1. 問題の内容

ある商品の売価が600円のとき500個売れる。売価を10円ずつ値上げするごとに、売り上げは5個ずつ減っていく。最大の売り上げ金額を得るための売価を求める。

2. 解き方の手順

まず、値上げの回数を $x$ とおく。

売価は $600 + 10x$ 円となる。

売り上げ個数は $500 - 5x$ 個となる。

売り上げ金額 $S$ は、売価と売り上げ個数の積で表されるので、

$S = (600 + 10x)(500 - 5x)$

$S = 300000 - 3000x + 5000x - 50x^2$

$S = -50x^2 + 2000x + 300000$

この2次関数が最大となる $x$ を求めるために、平方完成を行う。

$S = -50(x^2 - 40x) + 300000$

$S = -50(x^2 - 40x + 400 - 400) + 300000$

$S = -50((x - 20)^2 - 400) + 300000$

$S = -50(x - 20)^2 + 20000 + 300000$

$S = -50(x - 20)^2 + 320000$

$S$ が最大となるのは $x = 20$ のときである。

したがって、最大の売り上げ金額を得るための売価は、

$600 + 10 \times 20 = 600 + 200 = 800$ 円である。

3. 最終的な答え

800円